Question

如圖，直線y=-x+3與x軸，y軸分別相交于點(diǎn)B，點(diǎn)C，經(jīng)過B，C兩點(diǎn)的拋物線y=ax²+bx+c與x軸的另一交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為P，且對稱軸是直線x=2．
（1）求A點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（3）連接AC．請問在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)P，B，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，已知對稱軸的解析式以及B點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出A的坐標(biāo)
（2）已知了拋物線過A、B、C三點(diǎn)，而且三點(diǎn)的坐標(biāo)都已得出，可用待定系數(shù)法來求函數(shù)的解析式．
（3）本題要先根據(jù)拋物線的解析式求出頂點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后求出BP的長，進(jìn)而分情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)∠PQB=∠CAB，即BQ：AB=PB：BC時(shí)，根據(jù)A、B的坐標(biāo)可求出AB的長，根據(jù)B、C的坐標(biāo)可求出BC的長，已經(jīng)求出了PB的長度，那么可根據(jù)比例關(guān)系式得出BQ的長，即可得出Q的坐標(biāo)．
②當(dāng)∠QPB=∠CAB，即BQ：BC=BP：AB，可參照①的方法求出Q的坐標(biāo)．
③當(dāng)∠QBP=∠CAB，根據(jù)P點(diǎn)和A點(diǎn)的坐標(biāo)即可得出∠CAO與∠QBP是不相等的，因此∠CAB與∠QBP也不會相等，因此此種情況是不成立的．
綜上所述即可得出符合條件的Q的坐標(biāo)．
解答：解：（1）∵直線y=-x+3與x軸相交于點(diǎn)B，
∴當(dāng)y=0時(shí)，x=3，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）．
又∵拋物線過x軸上的A，B兩點(diǎn)，且對稱軸為x=2，
根據(jù)拋物線的對稱性，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0）．

（2）∵y=-x+3過點(diǎn)C，易知C（0，3），
∴c=3．
又∵拋物線y=ax²+bx+c過點(diǎn)A（1，0），B（3，0），
∴
解，得
∴y=x²-4x+3．

（3）連接PB，由y=x²-4x+3=（x-2）²-1，得P（2，-1），
設(shè)拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)M，
∵在Rt△PBM中，PM=MB=1，
∴∠PBM=45°，PB=．
由點(diǎn)B（3，0），C（0，3）易得OB=OC=3，在等腰直角三角形OBC中，∠ABC=45°，
由勾股定理，得BC=3．
假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)P，B，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．
①當(dāng)，∠PBQ=∠ABC=45°時(shí)，△PBQ∽△ABC．
即，
∴BQ=3，
又∵BO=3，
∴點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合，
∴Q₁的坐標(biāo)是（0，0）．
②當(dāng)，∠QBP=∠ABC=45°時(shí)，△QBP∽△ABC．
即，
∴QB=．
∵OB=3，
∴OQ=OB-QB=3-，
∴Q₂的坐標(biāo)是（，0）．
∵∠PBx=180°-45°=135°，∠BAC＜135°，
∴∠PBx≠∠BAC．
∴點(diǎn)Q不可能在B點(diǎn)右側(cè)的x軸上
綜上所述，在x軸上存在兩點(diǎn)Q₁（0，0），Q₂（，0），
能使得以點(diǎn)P，B，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．
點(diǎn)評：本小題主要考查待定系數(shù)法、方程、函數(shù)及三角形相似等知識，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識、分析問題、解決問題的能力，考查數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想．
此題是一道以函數(shù)為背景的綜合壓軸題，第1、2兩個(gè)小題較為容易，上手很輕松，第3小題中很容易看出要討論相似三角形的對應(yīng)頂角，想提醒大家的是在中考中應(yīng)該對可能的情況進(jìn)行逐一討論，才能盡量防止漏解，如本題中的第3種情況實(shí)際上不成立，但最好也討論一下，有時(shí)不成立的情況也會是一個(gè)得分點(diǎn)，這樣在考場上浪費(fèi)不了多少時(shí)間，卻能避免失分的風(fēng)險(xiǎn)．