Question

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)總是如數(shù)學(xué)知識(shí)自身的生長歷史一樣，往往起源于猜測中的發(fā)現(xiàn)，我們所發(fā)現(xiàn)的不一定對(duì)，但是當(dāng)利用我們已有的知識(shí)作為推理的前提論證之后，當(dāng)所發(fā)現(xiàn)的在邏輯上沒有矛盾之后，就可以作為新的推理的前提，數(shù)學(xué)中稱之為定理．
（1）嘗試證明：
等腰三角形的探索中借助折紙發(fā)現(xiàn)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．但是當(dāng)時(shí)并未說明這個(gè)結(jié)論的合理．現(xiàn)在我們學(xué)些了矩形的判定和性質(zhì)之后，就可以解決這個(gè)問題了．如圖1若在Rt△ABC中CD是斜邊AB的中線，則CD=

1

2

AB，你能用矩形的性質(zhì)說明這個(gè)結(jié)論嗎？請說明．
（2）遷移運(yùn)用：利用上述結(jié)論解決下列問題：
①如圖2所示，四邊形ABCD中，∠BAD=90°，∠DCB=90°，EF分別是BD、AC的中點(diǎn)，請你說明EF與AC的位置關(guān)系．
②如圖3所示，?ABCD中，以AC為斜邊作Rt△ACE，∠AEC=90°，且∠BED=90°，試說明平行四邊形ABCD是矩形．

Answer 1

分析：（1）延長CD至點(diǎn)E，使CD=DE，連接AE、BE，然后證明四邊形AEBC是矩形，再根據(jù)矩形的性質(zhì)可得CD=

1

2

AB；
（2）EF⊥AC，連接AE、CE，然后根據(jù)（1）中的結(jié)論得到AE=CE，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得EF⊥AC；
（3）連接EO，根據(jù)（1）中的結(jié)論可得OE=

1

2

DB，OE=

1

2

AC，進(jìn)而得到AC=BD，根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形可得結(jié)論．

解答：證明：（1）如圖，延長CD至點(diǎn)E，使CD=DE，連接AE、BE，
∵CD=DE，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，
∴四邊形AEBC為平行四邊形，
∵∠ACB=90°，
∴平行四邊形AEBC是矩形，
∴CE=AB，
∵CD=

1

2

CE，
∴CD=

1

2

AB；

（2）EF⊥AC．理由如下：
連接AE、CE，
∵∠BAD=90°，E為BD中點(diǎn)，
∴AE=

1

2

DB，
∵∠DCB=90°，
∴CE=

1

2

BD，
∴AE=CE，
∵F是AC中點(diǎn)，
∴EF⊥AC；

（3）連接EO，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴O點(diǎn)為AC、BD中點(diǎn)，
∵∠AEC=90°，O為AC中點(diǎn)，
∴EO=

1

2

AC，
∵∠BED=90°，O為BD中點(diǎn)，
∴EO=

1

2

DB，
∴AC=BD，
∵平行四邊形ABCD中，AC=BD，
∴四邊形ABCD是矩形．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了矩形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握矩形的對(duì)角線相等且互相平分．