Question

如圖梯形ABCD的面積為12，E、F、M、N分別是AB、BC、CD、DA的中點，則以此梯形四邊的中點為頂點的四邊形EFMN的面積是

 

．

Answer 1

考點：梯形,三角形中位線定理

專題：

分析：首先連接AC與BD，由E、F、M、N分別是AB、BC、CD、DA的中點，根據三角形中位線的性質，可得EN∥BD，EN=

1

2

BD，即可判定△AEN∽△ABD，根據相似三角形的面積比等于相似比的平方，可得S_△AEN=

1

4

S_△ABD，同理可得S_△DMN=

1

4

S_△DAC，S_△CMF=

1

4

S_△CBD，S_△BEF=

1

4

S_△BAC，然后由S_{四邊形EFMN}=S_{四邊形ABCD}-S_△AEN-S_△DMN-S_△CMF-S_△BEF，即可求得答案．

解答：解：連接AC與BD，
∵E、F、M、N分別是AB、BC、CD、DA的中點，
∴EN是△ABD的中位線，MN是△DAC的中位線，MF是△CBD的中位線，EF是△BAC的中位線，
∴EN∥BD，EN=

1

2

BD，
∴△AEN∽△ABD，
∴

S△AEN

S△ABD

=(

EN

BD

)2=

1

4

，
即S_△AEN=

1

4

S_△ABD，
同理可得：S_△DMN=

1

4

S_△DAC，S_△CMF=

1

4

S_△CBD，S_△BEF=

1

4

S_△BAC，
∴S_{四邊形EFMN}=S_{四邊形ABCD}-S_△AEN-S_△DMN-S_△CMF-S_△BEF=S_{四邊形ABCD}-

1

4

S_△ABD-

1

4

S_△DAC-

1

4

S_△CBD-

1

4

S_△BAC=

1

2

S_{四邊形ABCD}=

1

2

×12=6．
故答案為：6．

點評：此題考查了三角形中位線的性質與相似三角形的判定與性質．此題難度適中，解題的關鍵是準確作出輔助線，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方定理的應用．