Question

在1，0交替出現(xiàn)，且以1打頭和結(jié)尾的所有整數(shù)（如101，10101，1010101…）中有多少個(gè)質(zhì)數(shù)，為什么？并求出所有質(zhì)數(shù)．

Answer 1

分析：可以把每個(gè)數(shù)字看成是首項(xiàng)1，公比為100的，等比數(shù)列求和，就是這些數(shù)的表達(dá)A=1010…1…（2n+1位）=10²ⁿ+10^2n-2+••+10²+1
，則A=

(10n+1+1)(10n+1-1)

99

．只有當(dāng)n=1的時(shí)候，該數(shù)不能分解因式為質(zhì)數(shù)；當(dāng)n為其他數(shù)的時(shí)候都能從前面一個(gè)式子分解而得，所以命題得證．

解答：解：只有101這個(gè)質(zhì)數(shù)，
設(shè)n≥2，有
A=1010…1…（2n+1位）=10²ⁿ+10^2n-2+••+10²+1=

102n+2-1

102-1

=

(10n+1+1)(10n+1-1)

99

若n為奇數(shù)，即n=2m+1時(shí)，有

10n+1-1

99

=

102m+2-1

99

=1010…1…（2m+1位），
∴A=1010…1…（2m+1位）×10ⁿ⁺¹+1，即A為合數(shù)；
若n為偶數(shù)，則A=

10n+1-1

9

×

10n+1+1

11

，
即A亦為合數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了考查了等比數(shù)列求和公式，分解質(zhì)因數(shù)及分類思想，注意一個(gè)數(shù)被11整除的充要條件是奇偶位和的差能被11整除，