Question

已知：如圖，在△ABC中，D、E、F分別是各邊的中點，AH是邊BC上的高．那么，圖中的∠DHF與∠DEF相等嗎？為什么？

Answer 1

【答案】分析：在△ABH中，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DH=AB=AD，從而得到∠1=∠2，同理可證出∠3=∠4，從而得到∠DHF=∠DAF，再利用三角形的中位線定理證明四邊形ADEF是平行四邊形，可得到∠DAF=∠DEF，即可證出∠DHF=∠DEF．
解答：解：∠DHF=∠DEF，
如圖．∵AH⊥BC于H，
又∵D為AB的中點，
∴DH=AB=AD，
∴∠1=∠2，
同理可證：∠3=∠4，
∴∠1+∠3=∠2+∠4，
即∠DHF=∠DAF，
∵E、F分別為BC、AC的中點，
∴EF∥AB且EF=AB，
即EF∥AD且EF=AD，
∴四邊形ADEF是平行四邊形，
∴∠DAF=∠DEF，
∴∠DHF=∠DEF．
點評：此題主要考查了平行四邊形的性質與判定，三角形的中位線定理，直角三角形的性質，解決題目的關鍵是證明∠DHF=∠DAF與∠DAF=∠DEF．