Question

已知菱形ABCD的邊長為1．∠ADC＝60°，等邊△AEF兩邊分別交邊DC、CB于點E、F．

(1)特殊發(fā)現(xiàn)：如圖1，若點E、F分別是邊DC、CB的中點．求證：菱形ABCD對角線AC、BD交點O即為等邊△AEF的外心；

(2)若點E、F始終分別在邊DC、CB上移動．記等邊△AEF的外心為點P．

①猜想驗證：如圖2．猜想△AEF的外心P落在哪一直線上，并加以證明；

②拓展運用：如圖3，當△AEF面積最小時，過點P任作一直線分別交邊DA于點M，交邊DC的延長線于點N，試判斷是否為定值．若是．請求出該定值；若不是．請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)證明：如圖1，分別連接OE、OF 　　∵四邊形ABCD是菱形 　　∴AC⊥BD，BD平分∠ADC．AO＝DC＝BC 　　∴∠COD＝∠COB＝∠AOD＝90°． 　　∠ADO＝∠ADC＝×60°＝30° 　　又∵E、F分別為DC、CB中點 　　∴OE＝CD，OF＝BC，AO＝AD 　　∴OE＝OF＝OA 　　∴點O即為△AEF的外心． 　　(2)①猜想：外心P一定落在直線DB上． 　　證明：如圖2，分別連接PE、PA，過點P分別作PI⊥CD于I，PJ⊥AD于J 　　∴∠PIE＝∠PJD＝90°，∵∠ADC＝60° 　　∴∠IPJ＝360°－∠PIE－∠PJD－∠JDI＝120° 　　∵點P是等邊△AEF的外心，∴∠EPA＝120°，PE＝PA， 　　∴∠IPJ＝∠EPA，∴∠IPE＝∠JPA 　　∴△PIE≌△PJA，∴PI＝PJ 　　∴點P在∠ADC的平分線上，即點P落在直線DB上． 　�、�為定值2． 　　當AE⊥DC時．△AEF面積最小， 　　此時點E、F分別為DC、CB中點． 　　連接BD、AC交于點P，由(1) 　　可得點P即為△AEF的外心 　　解法一：如圖3．設(shè)MN交BC于點G 　　設(shè)DM＝x，DN＝y(tǒng)(x≠0．y≠0)，則CN＝ 　　∵BC∥DA∴△GBP∽△MDP．∴BG＝DM＝x． 　　∴ 　　∵BC∥DA，∴△GBP∽△NDM 　　∴，∴ 　　∴ 　　∴，即 　　其它解法略．