Question

如圖，已知拋物線C₁：的頂點為P，與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左邊），點A的橫坐標是．

（1）求點坐標及的值；

（2）如圖（1），拋物線C₂與拋物線C₁關于x軸對稱，將拋物線C₂向左平移，平移后的拋物線記為C₃，C₃的頂點為M，當點P、M關于點A成中心對稱時，求C₃的解析式；

（3）如圖（2），點Q是x軸負半軸上一動點，將拋物線C₁繞點Q旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線C₄．拋物線C₄的頂點為N，與x軸相交于E、F兩點（點E在點F的左邊），當以點P、N、E為頂點的三角形是直角三角形時，求頂點N的坐標．

Answer 1

解：（1）由拋物線C₁：得頂點P的坐標（2，5）………….1分

∵點A（－1，0）在拋物線C₁上∴.………………1分

（2）連接PM，作PH⊥x軸于H，作MG⊥x軸于G..

∵點P、M關于點A成中心對稱,

∴PM過點A，且PA＝MA..

∴△PAH≌△MAG..

∴MG＝PH＝5，AG＝AH＝3.

∴頂點M的坐標為（，5）.………………………2分

∵拋物線C₂與C₁關于x軸對稱，拋物線C₃由C₂平移得到

∴拋物線C₃的表達式.  …………1分

（3）∵拋物線C₄由C₁繞x軸上的點Q旋轉(zhuǎn)180°得到

∴頂點N、P關于點Q成中心對稱.

 由（2）得點N的縱坐標為5.

設點N坐標為（m，5），作PH⊥x軸于H，

作NG⊥x軸于G，作PR⊥NG于R.∵旋轉(zhuǎn)中心Q在x軸上,

∴EF＝AB＝2AH＝6.

 ∴EG＝3，點E坐標為（，0），H坐標為（2，0），R坐標為（m，－5）.

根據(jù)勾股定理，得

     

  

       

①當∠PNE＝90º時，PN²+ NE²＝PE²，解得m＝，∴N點坐標為（，5）……2分

②當∠PEN＝90º時，PE²+ NE²＝PN²，解得m＝，∴N點坐標為（，5）. …… 2分

③∵PN＞NR＝10＞NE，∴∠NPE≠90º  ……2分

綜上所得，當N點坐標為（，5）或（，5）時，以點P、N、E為頂點的三角形是直角三角形．