Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=|x+2a|+|x﹣1|．
（1）若a=1，解不等式f（x）≤5；
（2）當(dāng)a≠0時(shí)， ，求滿(mǎn)足g（a）≤4的a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=|x+2|+|x﹣1|，故f（x）表示數(shù)軸上的點(diǎn)x到﹣2和1對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，

因?yàn)閤=﹣3或2時(shí)，f（x）=5，依據(jù)絕對(duì)值的幾何意義可得f（x）≤5的解集為{x|﹣3≤x≤2}

（2）解：∵ ，∴ ，

當(dāng)a＜0時(shí)， ，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a=﹣1時(shí)成立，所以g（a）≤4無(wú)解；

當(dāng)0＜a≤1時(shí)， ，

由g（a）≤4得2a2﹣5a+2≤0，解得 ，又因?yàn)?＜a≤1，所以 ；

當(dāng)a＞1時(shí)，由g（a）=2a+1≤4，解得 ，

綜上，a的取值范圍是

【解析】（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=|x+2|+|x﹣1|，利用絕對(duì)值的意義求得不等式f（x）≤5的解集．（Ⅱ）先求得g（x）的解析式，分類(lèi)討論求得g（a）≤4的a的取值范圍，綜合可得結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用絕對(duì)值不等式的解法的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握含絕對(duì)值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值的符號(hào)．