Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，對于點P（x，y），如果點Q（x，y′）的縱坐標滿足y′= ，那么稱點Q為點P的“關聯(lián)點”．
（1）請直接寫出點（3，5）的“關聯(lián)點”的坐標；
（2）如果點P在函數(shù)y=x﹣2的圖象上，其“關聯(lián)點”Q與點P重合，求點P的坐標；
（3）如果點M（m，n）的“關聯(lián)點”N在函數(shù)y=2x2的圖象上，當0≤m≤2時，求線段MN的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）（3，2）
（2）

解：∵點P在函數(shù)y=x﹣2的圖象上，

∴點P的坐標為（x，x﹣2）．

∵x＞x﹣2，根據(jù)關聯(lián)點的定義，點Q的坐標為（x，2）．

又∵點P與點Q重合，

∴x﹣2=2，解得x=4，

∴點P的坐標是（4，2）；

（3）

解：點M（m，n）的“關聯(lián)點”N，由關聯(lián)點的定義，得

第一種情況：當m≥n時，點N的坐標為（m，m﹣n），

∵N在函數(shù)y=2x2的圖象上，

∴m﹣n=2m2，n=﹣2m2+m，即yM=﹣2m2+m，yN=2m2，

∴MN=|yM﹣yN|=|﹣4m2+m|，

①當0≤m≤ ，﹣4m2+m＞0，

MN=﹣4m2+m=﹣4（m﹣ ）2+ ，

∴當m= 時，線段MN的最大值是 ；

②當 ＜m≤2時，﹣4m2+m＜0，

MN=4m2﹣m=4（m﹣ ）2﹣ ，當m=2時，線段MN的最大值是14；

第二種情況：當m＜n時，點N的坐標為（m，n﹣m），

∵N在函數(shù)y=2x2的圖象上，

∴n﹣m=2m2，即n=2m2+m，

∴yM=2m2+m，yN=2m2，

∴MN=|yM﹣yN|=|m|，

∵0≤m≤2，

∴MN=m，

∴當m=2時，線段MN的最大值是2；

綜上所述：當m≥n時，線段MN的最大值是14；當m＜n時，線段MN的最大值是2．

【解析】（1）∵3＜5，根據(jù)關聯(lián)點的定義，
∴y′=5﹣3=2，
點（3，5）的“關聯(lián)點”的坐標（3，2），
所以答案是：（3，2）；
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數(shù)的性質(zhì)的相關知識，掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．