Question

【題目】如圖，已知ABCD的頂點A、C分別在直線x=2和x=5上，O是坐標原點，則對角線OB長的最小值為 ．

Answer 1

【答案】7
【解析】解：過點B作BD⊥直線x=5，交直線x=5于點D，過點B作BE⊥x軸，交x軸于點E，直線x=2與OC交于點M，與x軸交于點F，直線x=5與AB交于點N，如圖： ∵四邊形OABC是平行四邊形，
∴∠OAB=∠BCO，OC∥AB，OA=BC，
∵直線x=2與直線x=5均垂直于x軸，
∴AM∥CN，
∴四邊形ANCM是平行四邊形，
∴∠MAN=∠NCM，
∴∠OAF=∠BCD，
∵∠OFA=∠BDC=90°，
∴∠FOA=∠DBC，
在△OAF和△BCD中，
，
∴△OAF≌△BCD（ASA）．
∴BD=OF=2，
∴OE=5+2=7，
∴OB= ．
由于OE的長不變，所以當BE最小時（即B點在x軸上），OB取得最小值，最小值為OB=OE=7．
故答案為：7．

過點B作BD⊥直線x=5，交直線x=5于點D，過點B作BE⊥x軸，交x軸于點E．則由勾股定理可求出OB的長．由于四邊形OABC是平行四邊形，所以OA=BC，又由平行四邊形的性質可推得∠OAF=∠BCD，則可證明△OAF≌△BCD，所以OE的長固定不變，當BE最小時，OB取得最小值，從而可求．