Question

某工廠有14m長的舊墻一面，現(xiàn)在準(zhǔn)備利用這面舊墻，建造平面圖形為矩形，面積為126m²的廠房，工程條件為：①建1m新墻的費(fèi)用為a元；②修1m舊墻的費(fèi)用為元；③拆去1m舊墻，用所得材料建造1m新墻的費(fèi)用為元．經(jīng)過討論有兩種方案：（Ⅰ）利用舊墻的一段xm（x＜14）為矩形廠房一面的邊長；（Ⅱ）矩形廠房利用舊墻的一面邊長為x（x≥14）．問：如何利用舊墻，即x為多少米時(shí)，建墻費(fèi)用最��？（Ⅰ）（Ⅱ）兩種方案哪個(gè)更好？

Answer 1

【答案】分析：由已知條件根據(jù)各自的費(fèi)用分別列出兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式，利用相關(guān)知識計(jì)算出各自的最少費(fèi)用，進(jìn)行比較后答案可得．
解答：解：設(shè)利用舊墻的一面矩形邊長為xm，則矩形的另一邊長為m．
（Ⅰ）利用舊墻的一段xm（x＜14）為矩形一面邊長，則修舊墻費(fèi)用為x•元，
將剩余的舊墻拆得材料建新墻的費(fèi)用為（14-x）•元，其余建新墻的費(fèi)用為（2x+-14）•a元．
故總費(fèi)用為
y=x•+•a+（2x+-14）•a=a（x+-7）=7a（-1）．（0＜x＜14）
∴y≥7a[2-1]=35a．當(dāng)且僅當(dāng)，即x=12m時(shí)，y_min=35a（元）；
（Ⅱ）若利用舊墻的一面矩形邊長為x≥14，則修舊墻的費(fèi)用為•14=a元，建新墻的費(fèi)用為（2x+-14）a元．
故總費(fèi)用為y=a+（2x+-14）a=a+2a（x+-7）（x≥14）．
設(shè)14≤x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0，x₁x₂＞196．
則（x₁+）-（x₂+）=（x₁-x₂）（1-）
∴函數(shù)y=x+在區(qū)間[14，+∞]上為增函數(shù)．
故當(dāng)x=14時(shí)，y_min=a+2a（14+-7）=35.5a＞35a．
綜上討論可知，采用第（Ⅰ）方案，建墻總費(fèi)用最省，為35a元．
點(diǎn)評：本題考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用；找出關(guān)系列出函數(shù)關(guān)系式后尋找得到各自的最小值是正確解答本題的關(guān)鍵．