Question

設都是實數(shù)，且．我們規(guī)定：滿足不等式的實數(shù)的所有取值的全體叫做閉區(qū)間，表示為．對于一個函數(shù)，如果它的自變量與函數(shù)值滿足：當時，有，我們就稱此函數(shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”．

（1）反比例函數(shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”嗎？請判斷并說明理由；

（2）若一次函數(shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”，求此函數(shù)的解析式；

（3）若實數(shù)c，d滿足，且，當二次函數(shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”時，求的值．

Answer 1

 解：（1）是；

由函數(shù)的圖象可知，當時，函數(shù)值隨著自變量的增大而減少，而當時，；時，，故也有，

所以，函數(shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”．

（2）因為一次函數(shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”，所以根據(jù)一次函數(shù)的圖象與性質，必有：

①當時，，解之得．

∴一次函數(shù)的解析式為．

②當時，，解之得．

∴一次函數(shù)的解析式為．…

故一次函數(shù)的解析式為或．

（3）由于函數(shù)的圖象開口向上，且對稱軸為，頂點為，由題意根據(jù)圖象，分以下兩種情況討論：

①當時，必有時，且時，，

即方程必有兩個不等實數(shù)根，解得，．

而0，6分布在2的兩邊，這與矛盾，舍去；

②當時，必有函數(shù)值的最小值為，

由于此二次函數(shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”，故必有，

從而有，而當時，，即得點；

又點關于對稱軸的對稱點為，

由“閉函數(shù)”的定義可知必有時，，即 ，解得，．

故可得，符合題意．

綜上所述，為所求的實數(shù)．