Question

如圖（1），△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經過點C，AD⊥MN于點D，BE⊥MN于點E．
（1）請說明：△ADC≌△CEB．
（2）請你探索線段DE，AD，EB間的等量關系，并說明理由；
（3）當直線MN繞點C旋轉到圖（2）的位置時，其它條件不變，線段DE，AD，EB又有怎樣的等量關系？（不必說理由）．

Answer 1

解：（1）理由：因為∠ACD+∠ACB+∠BCE=180°，∠ACB=90°，
所以∠ACD+∠BCE=90°．
又AD⊥MN，BE⊥MN，則∠ADC=∠CEB=90°，∠DAC+∠ACD=90°．
故∠DAC=∠ECB
而AC=CB．所以△ADC≌△CEB（AAS）．

（2）等量關系：DE=AD+EB．
理由：由（1）知△ADC≌△CEB．則AD=CE，DC=EB．
因為DE=CE+DC，所以DE=AD+EB．

（3）等量關系：DE=AD-EB．
分析：（1）由全等直角三角形的判定定理AAS來證明△ADC≌△CEB；
（2）利用（1）的△ADC≌△CEB的對應邊相等求得AD=CE，DC=EB；而DE=CE+DC，所以DE=AD+EB；
（3）利用（2）的解答思路可以直接回答DE=AD-EB．
點評：本題考查了等腰直角三角形、全等三角形的判定與性質．判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等（直角三角形除外），判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．