Question

如圖所示，已知△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O交BC于D，交AC于E，過(guò)D作DF⊥AC于F．
（1）求證：DF是⊙O的切線；
（2）連接DE，若AB=AC=13，BC=10，求△CDE的面積．

Answer 1

分析：（1）連接OD，AD，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角以及AB=AC，得到DB=DC，OD是△ABC的中位線，所以O(shè)D∥AC，再由DF⊥AC得到DF⊥OD，可以證明DF是⊙O的切線．
（2）利用兩角對(duì)應(yīng)相等，可以證明△CDE∽△CAB，然后用相似三角形面積的比等于相似比的平方可以求出△CDE的面積．

解答：解：（1）連接OD，AD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴DB=DC，
∵OA=OB，
∴OD是△ABC的中位線，
即：OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD．
∴DF是⊙O的切線．

（2）∵ABDE是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠DEC=∠B，又∠C為公共角，
∴△CDE∽△CAB，
∵AB=13，BC=10，由（1）得AD⊥BC，
∴CD=5，
∴AD=12．
S_△ABC=

1

2

BC•AD=

1

2

×10×12=60．
∵△CDE∽△CAB，
∴

DE

AB

=

CD

CA

=

5

13

．
∴S_△CDE：S_△CAB=25：169．
∴S_△CDE=60×

25

169

=

1500

169

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是切線的判定，（1）利用直徑所對(duì)的圓周角是直角以及中位線的性質(zhì)，得到OD∥AC，再根據(jù)已知條件證明DF⊥OD，可以證明DF是圓的切線．（2）先證明兩三角形相似，再用相似三角形的性質(zhì)求出△CDE的面積．