Question

24、如圖，點(diǎn)O是線段AB的中點(diǎn)，分別以AO和OB為邊在線段AB的同側(cè)作等邊三角形OAM和等邊三角形OBN，連接AN、BM相交于點(diǎn)P．
（1）證明ON⊥BM；
（2）求∠APB的大小；
（3）如圖2，若△OAM固定，將△OBN繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)α角度（△OBN形狀和大小不變，0＜α＜180°），試探究∠APB大小是否發(fā)生變化，并對(duì)結(jié)論給予證明．

Answer 1

分析：（1）連接MN，先證明四邊形MOBN為平行四邊形，結(jié)合BN=OB，可知平行四邊形MOBN為菱形，所以O(shè)N⊥BM；
（2）利用（1）中證得的結(jié)果四邊形MOBN為菱形可知，BM平分∠OBN，又在等邊△OBN中，∠OBN=60°，所以∠MBO=30°，即∠PBA=30°，∠PAB=30°，所以∠APB=180°-∠PAB-∠PBA=120°；
（3）①若△OBN繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜60°）或順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜120°）時(shí)，∠AON=∠AOM+∠MON=60°+∠MON，∠MOB=∠BON+∠MON=60°+∠MON，可證明△AON≌△MOB，所以∠ONA=∠OBM．則∠APB=ONB+∠ONA+∠OBN-∠OBM=120°．
②若△OBN繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°或順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°時(shí)，點(diǎn)P與M或O重合，此時(shí)仍有∠APB=120°．
③若△OBN繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（60°＜α＜180°）或順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（120°＜α＜180°）時(shí)，類似①可證∠APB=120°．

解答：解：（1）證明：連接MN，∵AO=OB且△OAM和△OBN是等邊三角形，
∴OM=BN=OB，∠MOA=∠NBO，（1分）
∴MO∥BN，且OM=BN，
∴四邊形MOBN為平行四邊形．（3分）
又∵BN=OB，
∴平行四邊形MOBN為菱形，
∴ON⊥BM．（4分）

（2）∵四邊形MOBN為菱形，
∴BM平分∠OBN，（5分）
又在等邊△OBN中，∠OBN=60°，
∴∠MBO=30°，即∠PBA=30°．（6分）
同理∠PAB=30°，
∴∠APB=180°-∠PAB-∠PBA=180°-30°-30°=120°．（8分）

（3）在旋轉(zhuǎn)過程中∠APB大小不發(fā)生變化，始終保持120°不變．（9分）
證明：①若△OBN繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜60°）或順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜120°）時(shí)，
則如圖，在△AON和△MOB中，∠AON=∠AOM+∠MON=60°+∠MON，
又∠MOB=∠BON+∠MON=60°+∠MON，
∴∠AON=∠MOB，（10分）
又AO=MO，ON=OB，
∴△AON≌△MOB，
∴∠ONA=∠OBM．（11分）
∴∠APB=∠ANB+∠PBN=∠ONB+∠ONA+∠OBN-∠OBM=120°．（12分）
②若△OBN繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°或順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°時(shí)，點(diǎn)P與M或O重合，此時(shí)仍有∠APB=120°．（13分）
③若△OBN繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（60°＜α＜180°）或順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（120°＜α＜180°）時(shí)，類似①可證∠APB=120°．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)．旋轉(zhuǎn)變化前后，對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變．要熟練掌握它們的性質(zhì)，并會(huì)熟練的運(yùn)用全等的性質(zhì)得到需要的等量關(guān)系．