Question

△ABC的三邊滿足a⁴+b²c²-a²c²-b⁴=0，請判別△ABC的形狀．

Answer 1

解：a⁴+b²c²-a²c²-b⁴
=（a⁴-b⁴）+（b²c²-a²c²）
=（a²+b²）（a²-b²）-c²（a²-b²）
=（a²-b²）（a²+b²-c²）
=（a+b）（a-b）（a²+b²-c²）=0，
∵a+b＞0，
∴a-b=0或a²+b²-c²=0，
即a=b或a²+b²=c²，
則△ABC為等腰三角形或直角三角形．
分析：將已知等式左邊第一、四項結(jié)合，二、三項結(jié)合，分別利用平方差公式及提取公因式法分解因式，再提取公因式及平方差公式化為積的形式，根據(jù)兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個為0轉(zhuǎn)化為關(guān)系式，利用等腰三角形的判定及勾股定理的逆定理，即可得出三角形ABC為等腰三角形或直角三角形．
點評：此題考查了因式分解的應(yīng)用，等腰三角形的判定，以及勾股定理的逆定理，其中利用的分解因式方法有：平方差公式，分組分解法，提公因式法，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．