Question

如圖，點O是△ABC的內(nèi)心，過點O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，過點O作OD⊥AC于D．下列四個結(jié)論：①∠BOC=90°+∠A；②EF不可能是△ABC的中位線；③設(shè)OD=m，AE+AF=n，則S_△AEF=mn；④以E為圓心、BE為半徑的圓與以F為圓心、CF為半徑的圓外切．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）

A．1個
B．2個
C．3個
D．4個

Answer 1

【答案】分析：由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，根據(jù)角平分線的定義與三角形內(nèi)角和定理，即可求得①∠BOC=90°+∠A正確；由角平分線定理與三角形面積的求解方法，即可求得③設(shè)OD=m，AE+AF=n，則S_△AEF=mn正確；又由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，過點O作EF∥BC交AB于E，可判定△BEO與△CFO是等腰三角形，根據(jù)兩圓位置關(guān)系與圓心距d，兩圓半徑R，r的數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系，即可求得④正確．
解答：解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠OBC+∠OCB=90°-∠A，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°+∠A；故①正確；
假設(shè)EF是△ABC的中位線，則EA=EB，F(xiàn)A=FC，
∴EO=EA，F(xiàn)O=FA，
∴EA+FA=EO+FO=EF，
推出在△AEF中兩邊之和等于第三邊，不成立，
∴EF不可能是△ABC的中位線，故②結(jié)論正確；
過點O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，連接OA，
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，
∴ON=OD=OM=m，
∴S_△AEF=S_△AOE+S_△AOF=AE•OM+AF•OD=OD•（AE+AF）=mn；故③正確；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，
∴∠EAB=∠OBC，∠FCO=∠OCB，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，
∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，
∴EB=EO，F(xiàn)O=FC，
∴EF=EO+FO=BE+CF，
∴以E為圓心、BE為半徑的圓與以F為圓心、CF為半徑的圓外切，故④正確．
∴其中正確的結(jié)論是①②③④．
故選D．
點評：此題考查了角平分線的定義與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，以及圓與圓的位置關(guān)系．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．