Question

如圖，⊙P與軸相切于坐標(biāo)原點(diǎn)O（0，0），與軸相交于點(diǎn)A（5，0），過點(diǎn)A的直線AB與軸的正半軸交于點(diǎn)B，與⊙P交于點(diǎn)C．

（1）已知AC=3，求點(diǎn)Ｂ的坐標(biāo)；               

（2）若AC=, D是OＢ的中點(diǎn)．問：點(diǎn)O、P、C、D四點(diǎn)是否在同一圓上？請說明理由．如果這四點(diǎn)在同一圓上，記這個圓的圓心為，函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，求的值（用含的代數(shù)式表示）．                

Answer 1

解：（1）根據(jù)已知條件可設(shè)拋物線的解析式為，

        　　把點(diǎn)A（0，4）代入上式得：，

       　　∴，

       　　∴拋物線的對稱軸是：．

（2）由已知，可求得P（6，4）．

提示：由題意可知以A、O、M、P為頂點(diǎn)的四邊形有兩條邊AO=4、OM=3，又知點(diǎn)P的坐標(biāo)中，所以，MP>2,AP>2；因此以1、2、3、4為邊或以2、3、4、5為邊都不符合題意，所以四條邊的長只能是3、4、5、6的一種情況，在Rt△AOM中，，因?yàn)閽佄锞�對稱軸過點(diǎn)M，所以在拋物線的圖象上有關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)與M的距離為5，即PM=5，此時點(diǎn)P橫坐標(biāo)為6，即AP=6；故以A、O、M、P為頂點(diǎn)的四邊形的四條邊長度分別是四個連續(xù)的正整數(shù)3、4、5、6成立，

即P（6，4）．

（注：如果考生直接寫出答案P（６，４），給滿分2分，但考生答案錯誤，解答過程分析合理可酌情給1分）

⑶法一：在直線AC的下方的拋物線上存在點(diǎn)N，使△NAC面積最大．

設(shè)N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，此時點(diǎn)N（，過點(diǎn)N作NG∥軸交AC于G；由點(diǎn)A（0，4）和點(diǎn)C（5，0）可求出直線AC的解析式為：；把代入得：，則G，

此時：NG=-（）， 

=．       

∴

∴當(dāng)時，△CAN面積的最大值為，

由，得：，∴N（， -3）．

法二：提示：過點(diǎn)N作軸的平行線交軸于點(diǎn)E，作CF⊥EN于點(diǎn)F，則

（再設(shè)出點(diǎn)N的坐標(biāo)，同樣可求,余下過程略）