如圖,P是正方形ABCD邊BC上的一點,且BP=3PC,Q是CD中點.
(1)求證:△ADQ∽△QCP.
(2)試問:AQ與PQ有什么關(guān)系(位置與數(shù)量)?

【答案】分析:(1)在所要求證的兩個三角形中,已知的等量條件為:∠D=∠C=90°,若證明兩三角形相似,可證兩個三角形的對應(yīng)直角邊成比例;
(2)AQ=2PQ,且AQ⊥PQ.根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可求得AQ與PQ的數(shù)量關(guān)系;根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等即可證得AQ與PQ的位置關(guān)系.
解答:(1)證明:∵四邊形ABCD是正方形,
∴AD=CD,∠C=∠D=90°;
又∵Q是CD中點,
∴CQ=DQ=AD;
∵BP=3PC,
∴CP=AD,
==,
又∵∠C=∠D=90°,
∴△ADQ∽△QCP;

(2)AQ=2PQ,且AQ⊥PQ.理由如下:
由(1)知,△ADQ∽△QCP,==
===,
AQ=2PQ;
∵△ADQ∽△QCP,
∴∠AQD=∠QPC,∠DAQ=∠PQC,
∴∠PQC+∠DQA=DAQ+AQD=90°,
∴AQ⊥QP.
點評:本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì).相似三角形的對應(yīng)邊成比例、對應(yīng)角相等.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,E是正方形ABCD對角線AC上一點,EF⊥AB,EG⊥BC,F(xiàn)、G是垂足,若正方形ABCD周長為a,則EF+EG等于( 。
A、
1
4
a
B、
1
2
a
C、a
D、2a

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖①,已知△ABC中,AB=AC,點P是BC上的一點,PN⊥AC于點N,PM⊥AB于點M,CG⊥AB于點G點.
(1)則CG、PM、PN三者之間的數(shù)量關(guān)系是
 

(2)如圖②,若點P在BC的延長線上,則PM、PN、CG三者是否還有上述關(guān)系,若有,請說明理由,若沒有,猜想三者之間又有怎樣的關(guān)系,并證明你的猜想;
(3)如圖③,AC是正方形ABCD的對角線,AE=AB,點P是BE上任一點,PN⊥AB于點N,PM⊥AC于點M,猜想PM、PN、AC有什么關(guān)系;(直接寫出結(jié)論)
精英家教網(wǎng)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

22、如圖,ABCD是正方形,P是對角線BD上一點,過P點作直線EF、GH分別平行于AB、BC,交兩組對邊于E、F、G、H,則四邊形PEDG,四邊形PHBF都是正方形,四邊形PEAH、四邊形PGCF都是矩形,設(shè)正方形PEDG的邊長是a,正方形PHBF的邊長是b. 請動手實踐并得出結(jié)論:
(1)請你動手測量一些線段的長后,計算正方形PEDG與正方形PHBF的面積之和以及矩形PEAH與矩形PGCF的面積之和.
(2)你能根據(jù)(1)的結(jié)果判斷a2+b2與2ab的大小嗎?
(3)當(dāng)點P在什么位置時,有a2+b2=2ab?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖四邊形AOBC是正方形,點C的坐標(biāo)是(4
2
,0),動點P、Q同時從點O出發(fā),點P沿著折線OACB的方向運動;點Q沿著折線OBCA的方向運動,設(shè)運動時間為t.
(1)求出經(jīng)過O、A、C三點的拋物線的解析式.
(2)若點Q的運動速度是點P的2倍,點Q運動到邊BC上,連接PQ交AB于點R,當(dāng)AR=3
2
時,請求出直線PQ的解析式.
(3)若點P的運動速度為每秒1個單位長度,點Q的運動速度為每秒2個單位長度精英家教網(wǎng),兩點運動到相遇停止.設(shè)△OPQ的面積為S.請求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式以及自變量t的取值范圍.
(4)判斷在(3)的條件下,當(dāng)t為何值時,△OPQ的面積最大?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,AC是正方形ABCD的對角線,點O是AC的中點,點Q是AB上一點,連接CQ,DP⊥CQ于點E,交BC于精英家教網(wǎng)點P,連接OP,OQ;
求證:
(1)△BCQ≌△CDP;
(2)OP=OQ.

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