已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過A(-1,0)和B(3,0)兩點(diǎn),且交y軸于點(diǎn)C.
(1)求這個二次函數(shù)的解析式;
(2)在圖中畫出這個二次函數(shù)的圖象;
(3)過點(diǎn)C作CD∥x軸交拋物線于點(diǎn)D,點(diǎn)M為此拋物線的頂點(diǎn),試確定△MCD的形狀.(寫出理由)
考點(diǎn):二次函數(shù)綜合題
專題:
分析:(1)將A(-1,0)、B(3,0)代入y=x2+bx+c,運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出這個函數(shù)的解析式;
(2)根據(jù)(1)中的解析式,可求出拋物線的對稱軸,頂點(diǎn)坐標(biāo),與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)已知條件,可知拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0),(3,0),分別在坐標(biāo)系中描出這幾個點(diǎn),用平滑曲線連接即可作出這個二次函數(shù)的圖象;
(3)根據(jù)題意,首先求得點(diǎn)C,D,M的坐標(biāo),即可求得CD,CM,DM的長,然后由勾股定理的逆定理,可確定△MCD是直角三角形,又由CM=DM,即可得出△MCD的形狀是等腰直角三角形.
解答:解:(1)∵二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過A(-1,0)和B(3,0)兩點(diǎn),
1-b+c=0
9+3b+c=0
,
解得:
b=-2
c=-3
,
故此二次函數(shù)的解析式為:y=x2-2x-3;

(2)∵y=x2-2x-3,
∴與y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-3),
∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4,
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)(1,-4),對稱軸為直線x=1.
圖象如右所示:

(3)△MCD是等腰直角三角形.理由如下:
∵C(0,-3),
∴點(diǎn)D(2,-3),
∵M(jìn)(1,-4),
∴CD=2,CM=
2
,DM=
2
,
∴CD2=CM2+DM2,CM=DM,
∴△MCD的形狀為等腰直角三角形.
點(diǎn)評:此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式,拋物線的畫法以及勾股定理的逆定理等知識,綜合性較強(qiáng),難度適中,解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
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下列正多邊形中能單獨(dú)鑲嵌平面的是
 
.(填寫序號)
①正三角形      ②正方形        ③正五邊形       ④正六邊形.

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2009年,一場歷史罕見的特大旱災(zāi)持續(xù)襲擊我國西南地區(qū),旱情深深牽動了陽光中學(xué)師生的心.全校師生身在校園,心系災(zāi)區(qū),以實(shí)際行動支援災(zāi)區(qū)人民,發(fā)起“愛心獻(xiàn)旱區(qū)”活動,捐出自己微薄的心意.已知該校初一初二初三每個年級各8個班級,每個班級有40名學(xué)生,共有40位教師,該校師生的捐款情況如下表所示:
單位 初一 初二 初三 教師
捐款數(shù)額(元) 1360 1453 1642 6230
那么該校師生平均每人捐款多少元?(  )
A、11.13
B、4.64
C、10.685
D、4.455

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已知拋物線y=ax2經(jīng)過A(-2,8).
(1)求a的值;
(2)若拋物線上縱坐標(biāo)為8的另一個點(diǎn)為B,試求出△AOB的面積;
(3)拋物線上是否存在一點(diǎn)C,使△ABC的面積等于△AOB面積的一半?如果存在,直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo);如果不存在,試說明理由.

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計算:(
x2
x-3
-
9
x-3
)•
1
x2+3x

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