Question

（2013•株洲）已知拋物線C₁的頂點(diǎn)為P（1，0），且過點(diǎn)（0，

1

4

）．將拋物線C₁向下平移h個(gè)單位（h＞0）得到拋物線C₂．一條平行于x軸的直線與兩條拋物線交于A、B、C、D四點(diǎn)（如圖），且點(diǎn)A、C關(guān)于y軸對(duì)稱，直線AB與x軸的距離是m²（m＞0）．
（1）求拋物線C₁的解析式的一般形式；
（2）當(dāng)m=2時(shí)，求h的值；
（3）若拋物線C₁的對(duì)稱軸與直線AB交于點(diǎn)E，與拋物線C₂交于點(diǎn)F．求證：tan∠EDF-tan∠ECP=

1

2

．

Answer 1

分析：（1）設(shè)拋物線C₁的頂點(diǎn)式形式y(tǒng)=a（x-1）²，（a≠0），然后把點(diǎn)（0，

1

4

）代入求出a的值，再化為一般形式即可；
（2）先根據(jù)m的值求出直線AB與x軸的距離，從而得到點(diǎn)B、C的縱坐標(biāo)，然后利用拋物線解析式求出點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，再根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相同求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后根據(jù)平移的性質(zhì)設(shè)出拋物線C₂的解析式，再把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入求出h的值即可；
（3）先把直線AB與x軸的距離是m²代入拋物線C₁的解析式求出C的坐標(biāo)，從而求出CE，再表示出點(diǎn)A的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性表示出ED，根據(jù)平移的性質(zhì)設(shè)出拋物線C₂的解析式，把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入求出h的值，然后表示出EF，最后根據(jù)銳角的正切值等于對(duì)邊比鄰邊列式整理即可得證．

解答：（1）解：設(shè)拋物線C₁的頂點(diǎn)式形式y(tǒng)=a（x-1）²，（a≠0），
∵拋物線過點(diǎn)（0，

1

4

），
∴a（0-1）²=

1

4

，
解得a=

1

4

，
∴拋物線C₁的解析式為y=

1

4

（x-1）²，
一般形式為y=

1

4

x²-

1

2

x+

1

4

；

（2）解：當(dāng)m=2時(shí)，m²=4，
∵BC∥x軸，
∴點(diǎn)B、C的縱坐標(biāo)為4，
∴

1

4

（x-1）²=4，
解得x₁=5，x₂=-3，
∴點(diǎn)B（-3，4），C（5，4），
∵點(diǎn)A、C關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-5，4），
設(shè)拋物線C₂的解析式為y=

1

4

（x-1）²-h，
則

1

4

（-5-1）²-h=4，
解得h=5；

（3）證明：∵直線AB與x軸的距離是m²，
∴點(diǎn)B、C的縱坐標(biāo)為m²，
∴

1

4

（x-1）²=m²，
解得x₁=1+2m，x₂=1-2m，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1+2m，m²），
又∵拋物線C₁的對(duì)稱軸為直線x=1，
∴CE=1+2m-1=2m，
∵點(diǎn)A、C關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1-2m，m²），
∴AE=ED=1-（-1-2m）=2+2m，
設(shè)拋物線C₂的解析式為y=

1

4

（x-1）²-h，
則

1

4

（-1-2m-1）²-h=m²，
解得h=2m+1，
∴EF=h+m²=m²+2m+1，
∴tan∠EDF-tan∠ECP=

EF

ED

-

EP

CE

=

m2+2m+1

2+2m

-

m2

2m

=

m+1

2

-

m

2

=

1

2

，
∴tan∠EDF-tan∠ECP=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象與結(jié)合變換，關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，銳角的正切的定義，（3）用m表示出相應(yīng)的線段是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．