如圖,已知△ABC是等邊三角形,D、E分別在邊BC、AC上,且CD=CE,連接DE并延長至點F,使EF=AE,連接AF、BE和CF.
(1)請在圖中找出一對全等三角形,用符號“≌”表示,并加以證明;
(2)判斷四邊形ABDF是怎樣的四邊形,并說明理由;
(3)若AB=6,BD=2DC,求四邊形ABEF的面積.

【答案】分析:(1)從圖上及已知條件容易看出△BDE≌△FEC,△BCE≌△FDC,△ABE≌△ACF.判定兩個三角形全等時,必須有邊的參與,所以此題的關(guān)鍵是找出相等的邊.
(2)由(1)的結(jié)論容易證明AB∥DF,BD∥AF,兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.
(3)EF∥AB,EF≠AB,四邊形ABEF是梯形,只要求出此梯形的面積即可.
解答:解:(1)(選證一)△BDE≌△FEC.
證明:∵△ABC是等邊三角形,
∴BC=AC,∠ACB=60度.
∵CD=CE,
∴△EDC是等邊三角形.
∴DE=EC,∠CDE=∠DEC=60°
∴∠BDE=∠FEC=120度.
又∵EF=AE,
∴BD=FE.
∴△BDE≌△FEC.
(選證二)△BCE≌△FDC.
證明:∵△ABC是等邊三角形,
∴BC=AC,∠ACB=60度.
又∵CD=CE,
∴△EDC是等邊三角形.
∴∠BCE=∠FDC=60°,DE=CE.
∵EF=AE,
∴EF+DE=AE+CE.
∴FD=AC=BC.
∴△BCE≌△FDC.
(選證三)△ABE≌△ACF.
證明:∵△ABC是等邊三角形,
∴AB=AC,∠ACB=∠BAC=60度.
∵CD=CE,∴△EDC是等邊三角形.
∴∠AEF=∠CED=60度.
∵EF=AE,△AEF是等邊三角形.
∴AE=AF,∠EAF=60度.
∴△ABE≌△ACF.

(2)四邊形ABDF是平行四邊形.
理由:由(1)知,△ABC、△EDC、△AEF都是等邊三角形.
∴∠CDE=∠ABC=∠EFA=60度.
∴AB∥DF,BD∥AF.
∴四邊形ABDF是平行四邊形.

(3)由(2)知,四邊形ABDF是平行四邊形.
∴EF∥AB,EF≠AB.
∴四邊形ABEF是梯形.
過E作EG⊥AB于G,則EG=
∴S四邊形ABEF=EG•(AB+EF)=(6+4)=10
點評:此題考查了全等三角形的判定,平行四邊形的判定,及梯形面積的求解,用到的知識點比較多,較復(fù)雜.
練習(xí)冊系列答案
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如圖,已知△ABC是邊長為4的正三角形,AB在x軸上,點C在第一象限,AC與y軸交于點D,點A精英家教網(wǎng)的坐標(biāo)為(-1,0).
(1)寫出B,C,D三點的坐標(biāo);
(2)若拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過B,C,D三點,求此拋物線的解析式.

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(2)已知DE=3,求:弧BD的長.

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(2012•襄城區(qū)模擬)如圖,已知△ABC是等邊三角形,D、E分別在邊BC、AC上,且CD=CE,連接DE并延長至點F,使EF=AE,連接AF、BE和CF.
(1)求證:△BCE≌△FDC;
(2)判斷四邊形ABDF是怎樣的四邊形,并說明理由.

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(2013•奉賢區(qū)二模)如圖,已知△ABC是等邊三角形,點D是BC延長線上的一個動點,以AD為邊作等邊△ADE,過點E作BC的平行線,分別交AB,AC的延長線于點F,G,聯(lián)結(jié)BE.
(1)求證:△AEB≌△ADC;
(2)如果BC=CD,判斷四邊形BCGE的形狀,并說明理由.

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