(2013•福田區(qū)一模)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,圓D與y軸相切于點(diǎn)C(0,4),與x軸相交于A、B兩點(diǎn),且AB=6.
(1)則D點(diǎn)的坐標(biāo)是 (
5
5
,
4
4
),圓的半徑為
5
5
;
(2)sin∠ACB=
3
5
3
5
;經(jīng)過(guò)C、A、B三點(diǎn)的拋物線的解析式
y=
1
4
x2-
5
2
x+4
y=
1
4
x2-
5
2
x+4
;
(3)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為F,證明直線FA與圓D相切;
(4)在x軸下方的拋物線上,是否存在一點(diǎn)N,使△CBN面積最大,最大值是多少,并求出N點(diǎn)坐標(biāo).
分析:(1)連接DC,則DC⊥y軸,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E,則根據(jù)垂徑定理可得AE=BE=3,連接DA,在Rt△ADE中可求出DA,即圓的半徑,也可得出點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)根據(jù)S△ABC=
1
2
AC×BCsin∠ACB=
1
2
AB×CO,可得出sin∠ACB,利用待定系數(shù)法可求出經(jīng)過(guò)C、A、B三點(diǎn)的拋物線的解析式.
(3)因?yàn)镈為圓心,A在圓周上,DA=r=5,故只需證明∠DAF=90°,利用勾股定理的逆定理證明∠DAF=90°即可.
(4)設(shè)存在點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)N作NP與y軸平行,交BC于點(diǎn)P,求出直線BC的解析式,設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)(a,
1
4
a2-
5
2
a+4
),則可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,-
1
2
a+4),從而根據(jù)S△BCN=S△BPN+S△PCN,表示出△BCN的面積,利用配方法可確定最大值,繼而可得出點(diǎn)N的坐標(biāo).
解答:(1)解:連接DC,則DC⊥y軸,

過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E,則DE垂直平分AB,
∵AB=6,
∴AE=3,
在Rt△ADE中,AD=
DE2+AE2
=
42+32
=5,
故可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為(5,4),圓的半徑為5;

(2)解:在Rt△AOC中,AC=
OC2+OA2
=
22+42
=2
5
,
在Rt△BOC中,BC=
OC2+OB2
=
42+82
=5
5
,
∵S△ABC=
1
2
AC×BCsin∠ACB=
1
2
AB×CO,
∴sin∠ACB=
24
2
5
×4
5
=
3
5
;
設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式為:y=ax2+bx+c,
將三點(diǎn)坐標(biāo)代入可得:
4a+2b+c=0
64a+8b+c=0
c=4
,
解得:
a=
1
4
b=-
5
2
c=4
,
故經(jīng)過(guò)C、A、B三點(diǎn)的拋物線的解析式為:y=
1
4
x2-
5
2
x+4.

(3)證明:因?yàn)镈為圓心,A在圓周上,DA=r=5,故只需證明∠DAF=90°,
拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo):F(5,-
9
4
),DF=4+
9
4
=
25
4
,AF=
32+(
9
4
)2
=
15
4
,
∵DA2+AF2=52+(
15
4
2=
625
16
=(
25
4
2=DF2
∴∠DAF=90°
所以AF切于圓D.

(4)解:存在點(diǎn)N,使△CBN面積最大.
根據(jù)點(diǎn)B及點(diǎn)C的坐標(biāo)可得:直線BC的解析式為:y=-
1
2
x+4,
設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)(a,
1
4
a2-
5
2
a+4
),過(guò)點(diǎn)N作NP與y軸平行,交BC于點(diǎn)P,

可得P點(diǎn)坐標(biāo)為(a,-
1
2
a+4
),
則NP=-
1
2
a+4
-(
1
4
a2-
5
2
a+4
)=-
1
4
a2+2a

故S△BCN=S△BPN+S△PCN=
1
2
×PN×OH+
1
2
×PN×BH=
1
2
PN×BO=
1
2
×8×(-
1
4
a2+2a
)=16-(a-4)2
當(dāng)a=4時(shí),S△BCN最大,最大值為16,此時(shí),N(4,-2).
點(diǎn)評(píng):本題考查了二次函數(shù)及圓的綜合,涉及了垂徑定理、拋物線求二次函數(shù)解析式、切線的判定與性質(zhì),綜合考察的知識(shí)點(diǎn)較多,同學(xué)們注意培養(yǎng)自己解答綜合題的能力,關(guān)鍵還是基礎(chǔ)知識(shí)的掌握,要能將所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通,第四問(wèn)解法不止一種,同學(xué)們可以積極探索其他解法.
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種類(lèi)
車(chē)輛
每輛的裝載量 每輛的運(yùn)輸成本
A型 B型
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