Question

【題目】如圖，已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，將一塊三角尺的直角頂點與斜邊AB的中點M重合，當三角尺繞著點M旋轉時，兩直角邊始終保持分別與邊BC、AC交于D，E兩點(D、E不與B、A重合)．

(1)求證：MD=ME；

(2)求四邊形MDCE的面積：

(3)若只將原題目中的“AC=BC=2”改為“BC=a，AC=b，(a≠b)”其它都不變，請你探究：MD和ME還相等嗎?如果相等，請證明；如果不相等，請求出MD∶ME的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）1（3）不相等

【解析】

（1）證明MD和ME所在的△BDM≌△CEM即可；
（2）由（1）中的全等得到面積相等，把所求的四邊形的面積進行轉換，成為三角形的面積即可；
（3）過M點作MF⊥BC于F，MH⊥AC于H，證明△MFD△MHE，再根據相似三角形的性質可得到MD∶ME的值．

⑴、證明：連接CM，

在Rt△ABC中，M是AB的中點，且AC＝BC，

∴CM＝AB＝BM

∠MCE＝∠B＝450，CM⊥AB

而∠BMD＝900－∠DMC，∠EMC＝900－∠DMC，

∴∠BMD＝∠EMC

△BDM≌△CEM（ASA）

∴MD＝ME

⑵、∵△BDM≌△CEM，∴S四邊形DMEC＝S△DMC＋S△CME＝S△DMC＋S△BMD＝S△BCM＝S△ACB＝1，

　∴四邊形MDCE的面積為1.

⑶、不相等.

如圖所示，過M點作MF⊥BC于F，MH⊥AC于H，

∵M是AB的中點，

∴MF＝b，MH＝a

∠FMD＝900－∠DMH，∠EMH＝900－∠DMH，故∠FMD＝∠EMH

∠MFD＝∠MHE＝900，

∴△MFD△MHE，

∴== .