Question

如圖所示，在△ABC中，已知D是BC邊上的點(diǎn)，O為△ABD的外接圓圓心，△ACD的外接圓與△AOB的外接圓相交于A，E兩點(diǎn)．求證：OE⊥EC．

Answer 1

分析：要證OE⊥EC，就要得出∠OEC=90°，連接AE，BE，OA，OB，根據(jù)OA=OB，不難得出∠AEO=∠BEO=

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2

∠AEB，由于四邊形AOBE是圓的內(nèi)接四邊形，因此∠AOB+∠AEB=180°，那么只需證∠AEC=

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2

∠AOB即可．連接AD，根據(jù)圓周角定理∠ADC=∠AEC，在優(yōu)弧AB上，求一點(diǎn)F，連接AF，BF，那么四邊形ADBF就是圓O的內(nèi)接四邊形，∠ADC=∠F，而∠F=

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2

∠AOB=∠AEC，由此可得證．

解答：證明：如圖，在

AB

上取點(diǎn)F，連接AF，BF，AO，BO，AD，AE，BE，則
∵A，D，B，F(xiàn)共圓，A，D，E，C共圓
∴∠AEC=∠ADC=∠F=

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2

∠AOB
∵AO=BO
∴

AO

=

BO

∴∠AEO=∠BEO=

1

2

∠AEB
∴∠CEO=∠AEC+∠AEO=

1

2

（∠AOB+∠AEB）=90°
∴OE⊥EC．

點(diǎn)評：本題主要考查了圓周角定理和圓的內(nèi)接四邊形等知識點(diǎn)，通過輔助線來構(gòu)建圓的內(nèi)接四邊形和與所求相關(guān)的圓周角是解題的關(guān)鍵．