Question

如圖所示，拋物線(m>0)的頂點(diǎn)為A，直線l：與y軸交點(diǎn)為B.

（1）寫(xiě)出拋物線的對(duì)稱(chēng)軸及頂點(diǎn)A的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；

（2）證明點(diǎn)A在直線l上，并求∠OAB的度數(shù)；

（3）動(dòng)點(diǎn)Q在拋物線對(duì)稱(chēng)軸上，問(wèn)拋物線上是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)P、Q、A為頂點(diǎn)的三角形與⊿OAB全等？若存在，求出m的值，并寫(xiě)出所有符合上述條件的P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

解：（1）對(duì)稱(chēng)軸：

           頂點(diǎn):A()

(2)將 代入函數(shù)，得

  

∴點(diǎn)A()在直線l上.

當(dāng)x=0時(shí)，y=- m ，∴B(0,-m)

tan∠OAB=，∴∠OAB=30°.

(3) 以點(diǎn)P、Q、A為頂點(diǎn)的三角形與⊿OAB全等共有以下四種情況：

①當(dāng)∠AQP=90°，PQ=,AQ=m時(shí),如圖1，此時(shí)點(diǎn)P在y軸上，與點(diǎn)B重合，其坐標(biāo)為（0，-m）,代入拋物線得

，∵m>0，∴m=

這時(shí)有-

其關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)也滿足條件.

②當(dāng)∠AQP=90°，PQ=m,AQ=時(shí)

點(diǎn)P坐標(biāo)為（）,代入拋物線得

，∵m>0，∴m=

這時(shí)有

還有關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).

③當(dāng)∠APQ=90°，AP=,PQ=m時(shí)

點(diǎn)P坐標(biāo)為（）,代入拋物線得

，∵m>0，∴m=2

這時(shí)有   還有關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).

④當(dāng)∠APQ=90°，AP =m, PQ =時(shí)

點(diǎn)P坐標(biāo)為（）,代入拋物線得

，∵m>0，∴m=

這時(shí)有                                                                      

還有關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn).

所以當(dāng)m=時(shí)，有點(diǎn)、；

當(dāng)m=時(shí)，有點(diǎn)、；

當(dāng)m=2時(shí)，有點(diǎn)、；

當(dāng)m=時(shí)，有點(diǎn)、.