Question

【題目】已知直線y＝kx＋2k＋4與拋物線y＝x 2

（1）求證：直線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；

（2）設(shè)直線與拋物線分別交于A, B兩點(diǎn).

①當(dāng)k＝－時(shí)，在直線AB下方的拋物線上求點(diǎn)P，使△ABP的面積等于5；

②在拋物線上是否存在定點(diǎn)D使∠ADB＝90°，若存在，求點(diǎn)D到直線AB的最大距離. 若不存在，請(qǐng)你說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；①點(diǎn)P的坐標(biāo)為（－2，2）或（1，），②存在，當(dāng)CD⊥AB時(shí)，點(diǎn)D到直線AB的距離最大，最大距離為2.

【解析】

(1)聯(lián)立y＝kx＋2k＋4與y＝x 2，得到，再利用根的判別式求解即可;(2) ①設(shè)P（m，m2），聯(lián)立直線方程和拋物線方程，求得A，B的坐標(biāo)，|AB|的長(zhǎng)，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，解得即可得到所求P的坐標(biāo)；②設(shè)A（x1， x12），B（x2， x22），D（t， t2），利用△ADE∽△DBF，得出AE·BF＝DE·DF，再利用垂線段最短得出結(jié)果即可.

（1）由得

∵

=

=

=

∵

∴直線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn).

（2）當(dāng)k＝－時(shí)，直線AB的解析式為y＝－x＋3

令－x＋3＝x2，即x2＋x－6＝0，解得x1＝－3，x2＝2

∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為－3，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2

過點(diǎn)P作PQ∥y軸交直線AB于點(diǎn)Q

設(shè)P（m， m2），則Q（m，－ m＋3）

∴PQ＝－m＋3－m2

∵S△ABP＝5，

∴ (2＋3)(－m＋3－m2)＝5

整理得：m2＋m－2＝0，解得m1＝－2，m2＝1

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（－2，2）或（1，）

（3）設(shè)A（x1， x12），B（x2， x22），D（t， t2）

聯(lián)立消去y得：x2－2kx－4k－8＝0

∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－4k－8

過點(diǎn)D作EF∥x軸，分別過點(diǎn)A、B作y軸的平行線，交EF于點(diǎn)E、F

則DE＝t－x1，AE＝x12－t2，DF＝x2－t，BF＝x22－t2

由∠ADB＝90°，可得△ADE∽△DBF

∴，即AE·BF＝DE·DF

∴(x12－t2)( x22－t2)＝(t－x1)(x2－t)

∴t2＋(x1＋x2)t＋x1x2＋4＝0

∴t2＋2kt－4k－4＝0，即2k(t－2)＋t2－4＝0

當(dāng)t－2＝0，即t＝2時(shí)，上式對(duì)任意實(shí)數(shù)k均成立

即點(diǎn)D的坐標(biāo)與k無關(guān)，∴D（2，2）

連接CD，∵C（－2，4），∴CD＝2

過點(diǎn)D作DH⊥AB，垂足為H，則DH≤CD

當(dāng)CD⊥AB時(shí)，點(diǎn)D到直線AB的距離最大，最大距離為2.