Question

已知⊙O是△ABC的外接圓，⊙O半徑為R，AD是△ABC的高，E是 的中點(diǎn)，EF與⊙O切于E，交AC的延長線于F，則下列結(jié)論：
①AC•AB=2R•AD；�、贓F∥BC； ③CF•AC=EF•CM； ④．
其中正確的結(jié)論是

1. A.
   ①②③
2. B.
   ①③④
3. C.
   ②③④
4. D.
   ①②③④

Answer 1

D
分析：①連接AO并延長交⊙O于G點(diǎn)，連接CG，則∠GCA=∠ADB=90°，∠G=∠B，證明△ACG∽△ADB，利用相似比證明結(jié)論；
②連接OE，由EF為⊙O的切線可知OE⊥EF，由E是 的中點(diǎn)可知OE⊥BC，故結(jié)論成立；
③連接CE，證明△ACM∽△EFC，利用相似比證明結(jié)論；
④過M點(diǎn)分別作MP⊥AC，MQ⊥AB，由E是 的中點(diǎn)可知AE平分∠BAC，由角平分線的性質(zhì)得MP=MQ，而∠F=∠PCM，在Rt△PCM和Rt△BDQ中，分別表示sin∠B，sin∠PCM，再求比．
解答：解：①如圖1，連接AO并延長交⊙O于G點(diǎn)，連接CG，
∵AG為直徑，∴∠GCA=∠ADB=90°，又∠G=∠B，
∴△ACG∽△ADB，∴=，AG=2R，∴AC•AB=2R•AD，①正確；
②如圖1，連接OE，
∵EF為⊙O的切線，E為切點(diǎn)，∴OE⊥EF，
又∵E是 的中點(diǎn)，∴OE⊥BC，
∴EF∥BC，②正確；
③如圖2，連接CE，
∵EF∥BC，∴∠ACM=∠F，
由弦切角定理可知∠CAE=∠FEC，∴△ACM∽△EFC，
∴=，即CF•AC=EF•CM，③正確；
④如圖2，過M點(diǎn)分別作MP⊥AC，MQ⊥AB，垂足為P，Q，
∵E是 的中點(diǎn)，∴AE平分∠BAC，∴MP=MQ，
又∠F=∠PCM，∴在Rt△PCM中，sin∠PCM=sinF=，
在Rt△BDQ中，sinB=，
∴=，④正確．
故選D．
點(diǎn)評：本題考查了切線的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義．關(guān)鍵是通過作輔助線，將問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中求解．