Question

如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，點D在邊AB上運動，DE平分∠CDB交邊BC于點E，CM⊥BD垂足為M，EN⊥CD，垂足為N．

(1)當AD＝CD時，求證：DE∥AC；

(2)探究：AD為何值時，△BME與△CNE相似？

(3)探究：AD為何值時，四邊形MEND與△BDE的面積相等？

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明： 　　　　1分 　　又∵DE是∠BDC的平分線 　　∴∠BDC＝2∠BDE 　　∴∠DAC＝∠BDE　　2分 　　∴DE∥AC　　3分 　　(2)解：(Ⅰ)當時，得 　　∴BD＝DC 　　∵DE平分∠BDC 　　∴DE⊥BC，BE＝EC． 　　又∠ACB＝90°　∴DE∥AC　　4分 　　∴即 　　∴AD＝5　　5分 　　(Ⅱ)當時，得 　　∴EN∥BD 　　又∵EN⊥CD 　　∴BD⊥CD即CD是△ABC斜邊上的高　　6分 　　由三角形面積公式得AB·CD＝AC·BC　∴CD＝ 　　∴　　7分 　　綜上，當AD＝5或時，△BME與△CNE相似． 　　(3)由角平分線性質(zhì)易得 　　 　　　即　　8分 　　∴EM是BD的垂直平分線． 　　∴∠EDB＝∠DBE 　　∵∠EDB＝∠CDE　∴∠DBE＝∠CDE 　　又∵∠DCE＝∠BCD 　　∴　　9分 　　　　10分 　　 　　即 　　　　11分 　　由式得 　　 　　　　12分