Question

【題目】如圖，∠OAB=45°，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，0），AB= ，連結(jié)OB．

（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)B的坐標(biāo)．
（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿折線O﹣B﹣A方向向終點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，另一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，沿OA方向勻速運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為 個(gè)單位/秒，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度是1個(gè)單位/秒，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，請(qǐng)求出使△OPQ的面積等于1.5時(shí)t的值．
（3）動(dòng)點(diǎn)P仍按（2）中的方向和速度運(yùn)動(dòng)，但Q點(diǎn)從A點(diǎn)向O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，速度為1個(gè)單位/秒，P、Q與△OAB中的任意一個(gè)頂點(diǎn)形成直角三角形時(shí)，求此時(shí)t（t≠0）的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：過(guò)B作BC⊥OA于C，

∵∠OAB=45°，

∴△ACB為等腰直角三角形，

∵AB=2 ，

∴BC=AC=2，

∵A（4，0），

∴OA=4，

∴OC=OA﹣AC=4﹣2=2，

∴B（2，2）

（2）

解：過(guò)P作PD⊥OA于D，

如圖1，由（1）得：OC=BC=2，∠BCO=90°，

∴∠AOB=45°，

如圖2，由題意得：OP= t，OQ=t，

∵△POD是等腰直角三角形，

∴PD= =t，

∵S△OPQ=1.5，

∴ OQPD=1.5，

t2=1.5，

t= ，

答：當(dāng)t= 時(shí)，△OPQ的面積等于1.5

（3）

解：分四種情況：

①0＜t≤2時(shí)，∠OPQ=90°，如圖3，

由題意得：OP= t，AQ=t，OQ=4﹣t，

則cos45°= ，

= ，

解得：t= ；

②當(dāng)0＜t≤2時(shí)，∠OQP=90°，如圖4，

由題意得：OP= t，AQ=t，OQ=4﹣t，

則cos45°= ，

= ，

解得：t=2；

③當(dāng)2＜t＜4時(shí)，AQ=t，AP=4 ﹣ t，

當(dāng)∠APQ=90°時(shí)，如圖5，

cos45°= ，

= ，

解得：t= ；

④如圖6，點(diǎn)Q與O重合，點(diǎn)P與A重合，

∠PBQ=90°，此時(shí)t=4；

綜上所述，P、Q與△OAB中的任意一個(gè)頂點(diǎn)形成直角三角形時(shí)，t的值為 或2或 或4．

【解析】（1）如圖1，過(guò)B作BC⊥OA于C，根據(jù)∠OAB=45°，可知△ACB為等腰直角三角形，求出BC和AC的長(zhǎng)為2，再由點(diǎn)A的坐標(biāo)得出OA=4，所以得出B（2，2）；（2）如圖2，作△OPQ的高線PD，根據(jù)速度和時(shí)間表示動(dòng)點(diǎn)的路程：OP= t，OQ=t，根據(jù)圖1求出∠AOB=45°，所以△POD是等腰直角三角形，表示出高線PD的長(zhǎng)，代入面積公式列等量關(guān)系式可求得結(jié)論；（3）分四種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)0＜t≤2時(shí)，∠OPQ=90°，如圖3，②當(dāng)0＜t≤2時(shí)，∠OQP=90°，如圖4，③當(dāng)2＜t＜4時(shí)，∠APQ=90°，如圖5，④點(diǎn)Q與O重合，點(diǎn)P與A重合，如圖6；分別根據(jù)45°的余弦列式求出．