Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形ABCO的頂點(diǎn)A、C分別在y軸、x軸正半軸上，點(diǎn)P在AB上，PA=1，AO=2．經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線的對(duì)稱軸是直線x=2．

（1）求出該拋物線的解析式．

（2）如圖1，將一塊兩直角邊足夠長(zhǎng)的三角板的直角頂點(diǎn)放在P點(diǎn)處，兩直角邊恰好分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)O和C．現(xiàn)在利用圖2進(jìn)行如下探究：

①將三角板從圖1中的位置開(kāi)始，繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，兩直角邊分別交OA、OC于點(diǎn)E、F，當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)A重合時(shí)停止旋轉(zhuǎn)．請(qǐng)你觀察、猜想，在這個(gè)過(guò)程中，的值是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，說(shuō)明理由；若不發(fā)生變化，求出的值．

②設(shè)（1）中的拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，頂點(diǎn)為M，在①的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，是否存在點(diǎn)F，使△DMF為等腰三角形？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）①的值不變。理由見(jiàn)解析

②存在。理由見(jiàn)解析

【解析】

分析：（1）根據(jù)拋物線過(guò)原點(diǎn)和對(duì)稱軸為直線x=2這兩個(gè)條件確定拋物線的解析式。

（2）①如答圖1所述，證明Rt△PAE∽R(shí)t△PGF，則有，的值是定值，不變化。

 ②若△DMF為等腰三角形，可能有三種情形，需要分類討論，避免漏解。

解：（1）∵拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，∴n=0。

∵拋物線對(duì)稱軸為直線x=2，∴，解得。

∴拋物線的解析式為：。

（2）①的值不變。理由如下：

如答圖1所示，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，則PG=AO=2．

∵PE⊥PF，PA⊥PG，∴∠APE=∠GPF。．

在Rt△PAE與Rt△PGF中，

∵∠APE=∠GPF，∠PAE=∠PGF=90°，

∴Rt△PAE∽R(shí)t△PGF。

∴。．

②存在。

拋物線的解析式為：，

令y=0，即，解得：x=0或x=4，∴D（4，0）。

又，∴頂點(diǎn)M坐標(biāo)為（2，﹣1）。

若△DMF為等腰三角形，可能有三種情形：

（�。〧M=FD，如答圖2所示，

過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，則MN=1，ND=2，。

設(shè)FM=FD=x，則NF=ND﹣FD=2﹣x．

在Rt△MNF中，由勾股定理得：NF²+MN²=MF²，

即：，解得：。

∴FD=，OF=OD﹣FD。

∴F（，0）。

（ⅱ）若FD=DM．如答圖3所示，

此時(shí)FD=DM=，∴OF=OD﹣FD=。

∴F（，0）。

（ⅲ）若FM=MD，

由拋物線對(duì)稱性可知，此時(shí)點(diǎn)F與原點(diǎn)O重合，而由題意可知，點(diǎn)E與點(diǎn)A重合后即停止運(yùn)動(dòng)，故點(diǎn)F不可能運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)O。

∴此種情形不存在。

綜上所述，存在點(diǎn)F（，0）或F（，0），使△DMF為等腰三角形。