在菱形ABCD中,∠B=60°,AC是對角線.
(1)如圖1,點E、F分別在邊BC、CD上,且BE=CF.
①求證:△ABE≌△ACF;
②求證:△AEF是等邊三角形.
(2)若點E在BC的延長線上,在直線CD上是否存在點F,使△AEF是等邊三角形?請證明你的結論(圖2備用).

【答案】分析:(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AB=BC,∠ACB=∠ACF,根據(jù)SAS判定:△ABE≌△ACF;
(2)由全等得到AE=AF,∠BAE=∠CAF,因為∠BAE-∠CAE=60°,所以∠CAF-∠CAE=60°,即△AEF是等邊三角形.
解答:(1)證明:
①∵四邊形ABCD是菱形
∴AB=BC,∠ACB=∠ACF(2分)
又∵∠B=60°
∴△ABC是等邊三角形(1分)
∴AB=AC,∠ACB=60°
∴∠B=∠ACF(1分)
∵BE=CF
∴△ABE≌△ACF;(1分)

②由△ABE≌△ACF
∴AE=AF,∠BAE=∠CAF(2分)
∵∠BAE+∠CAE=60°
∴∠CAF+∠CAE=60°,即∠EAF=60°
∴△AEF是等邊三角形.(2分)

(2)答:存在(1分)
證明:在CD延長線上取點F,使CF=BE
與(1)①同理可證△ABE≌△ACF(2分)
∴AE=AF,∠BAE=∠CAF(1分)
∴∠CAF-∠CAE=∠BAE-∠CAE
∴∠EAF=∠BAC=60°
∴△AEF是等邊三角形.(1分)
注:若在CD延長線上取點F,使CE=DF亦可.
點評:此題考查了菱形的性質(zhì),等邊三角形的判定,全等三角形的判定方法等知識點,做題時要求學生對其靈活運用.
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