(2006,重慶)如圖,在梯形ABCD中,AB∥DC,∠BCD=90°,且AB=1,BC=2,tan∠ADC=2.
(1)求證:DC=BC;
(2)E是梯形內(nèi)的一點(diǎn),F是梯形外的一點(diǎn),且∠EDC=∠FBC,DE=BF,試判斷△ECF的形狀,并證明你的結(jié)論;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)BE∶CE=1∶2,∠BEC=135°時(shí),求sin∠BFE的值.
(1) 證明:過(guò)A作DC的垂線AM交DC于M.則 AM=BC=2,又 tan∠ADC=2,所以 .因?yàn)?/FONT>MC=AB=1 ,所以DC=DM+MC=2,即DC=BC.(2 )△ECF是等腰直角三角形.證明:因?yàn)?/FONT>DE=BF ,∠EDC=∠FBC,DC=BC,所以△ DEC≌△BFC,所以 CE=CF,∠ECB=∠FCB,∠ ECF=∠BCF+∠BCE=∠ECD+∠BCE=∠BCD=90°,即△ ECF為等腰直角三角形.(3) 解:設(shè)BE=k,則CE=CF=2k,所以.因?yàn)椤?/FONT>BEC=135 °,又∠ CEF=45°,所以∠BEF=90°,所以 ,所以 . |
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