Question

平面內有一等腰直角三角板（∠ACB=90°）和一直線MN．過點C作CE⊥MN于點E，過點B作BF⊥MN于點F．當點E與點A重合時（如圖1），易證：AF+BF=2CE．當三角板繞點A順時針旋轉至圖2、圖3的位置時，上述結論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AF、BF、CE之間又有怎樣的數量關系，請直接寫出你的猜想，不需證明．

Answer 1

【答案】分析：過B作BH⊥CE與點H，易證△ACE≌△CBH，根據全等三角形的對應邊相等，即可證得AF+BF=2CE．
解答：解：圖2，AF+BF=2CE仍成立，
證明：過B作BH⊥CE于點H，
∵∠BCH+∠ACE=90°，
又∵在直角△ACE中，∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠CAE=∠BCH，
又∵AC=BC，∠AEC=∠BHC=90°
∴△ACE≌△CBH．
∴CH=AE，BF=HE，CE=BH，
∴AF+BF=AE+EF+BF=CH+EF+HE=CE+EF=2EC．
圖3中，過點C作CG⊥BF，交BF延長線于點G，
∵AC=BC，
可得∠AEC=∠CGB，
∠ACE=∠BCG，
∴△CBG≌△CAE，
∴AE=BG，
∵AF=AE+EF，
∴AF=BG+CE=BF+FG+CE=2CE+BF，
∴AF-BF=2CE．

點評：正確作出垂線，構造全等三角形是解決本題的關鍵．