Question

（2013•石景山區(qū)一模）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，以AC為邊向右側(cè)作等邊三角形ACD．
（1）如圖1，將線段AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AB₁，聯(lián)結(jié)DB₁，則與DB₁長度相等的線段為

BC

 （直接寫出結(jié)論）；
（2）如圖2，若P是線段BC上任意一點（不與點C重合），點P繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到點Q，求∠ADQ的度數(shù)；
（3）畫圖并探究：若P是直線BC上任意一點（不與點C重合），點P繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到點Q，是否存在點P，使得以A、C、Q、D、為頂點的四邊形是梯形，若存在，請指出點P的位置，并求出PC的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，DB₁長度相等的線段為BC；
（2）首先根據(jù)全等三角形的判定方法得出△PAC≌△QAD，進而得出∠ADQ的度數(shù)；
（3）分別利用當(dāng)AD∥CQ時，當(dāng)AQ∥CD時，利用梯形的性質(zhì)分別求出即可．

解答：解：（1）將線段AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AB₁，聯(lián)結(jié)DB₁，則與DB₁長度相等的線段為BC；
故答案為：BC；

（2）由作圖知AP=AQ，∠PAQ=60°
∵△ACD是等邊三角形．
∴AC=AD，∠CAD=60°=∠PAQ，
∴∠PAC=∠QAD，
在△PAC和△QAD中

AP=AQ ∠PAC=∠QAD AC=AD

，
∴△PAC≌△QAD（SAS），
∴∠ADQ=∠ACP=90°；

（3）如圖3，同①可證△PAC≌△QAD，∠ADQ=∠ACP=90°，
當(dāng)AD∥CQ時，∠CQD=180°-∠ADQ=90°，
∵∠ADC=60°，
∴∠QDC=30°，
∵CD=AC=2，
∴CQ=1，DQ=

3

，
∴PC=DQ=

3

且CQ≠AD，
∴此時四邊形ACQD是梯形．
如圖4，同理可證△PAC≌△QAD，∠ADQ=∠ACP=90°，
當(dāng)AQ∥CD時，∠QAD=∠ADC=60°，∠AQD=30°，
∵AD=AC=2，
∴AQ=4，DQ=2

3

，
∴PC=DQ=2

3

，
此時DQ與AC不平行，四邊形ACDQ是梯形．
綜上所述，這樣的點P有兩個，分別在C點兩側(cè)，
當(dāng)P點在C點左側(cè)時，PC=

3

；當(dāng)P點在C點右側(cè)時，PC=2

3

．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和梯形的性質(zhì)等知識，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．