Question

在半徑為12，圓心角為90°扇形OAB的弧AB上有一動(dòng)點(diǎn)P，作PH⊥OA于H，G為△OPH的重心（三角形三條中線的交點(diǎn)）當(dāng)△OHG為等腰三角形時(shí)，PH的長(zhǎng)為    ．

Answer 1

【答案】分析：題中只說(shuō)△PHG為等腰三角形．沒(méi)有指明哪個(gè)是底哪個(gè)是腰，則應(yīng)該分三種情況進(jìn)行分析，從而求得PH的長(zhǎng)．
解答：解：如圖，MH，NP是Rt△OPH的兩條中線，交點(diǎn)為G，
∵M(jìn)N∥PH，MN=PH，
∴MN⊥OH．
設(shè)PH=x
（1）當(dāng)PG=PH=x時(shí)，
∵M(jìn)N∥PH，
∴==，
∴NG=x
∵NH²=NP²-PH²=（x）²-x²=x²，ON²+MN²=OM²
∵ON=NH，
∴x²+（x）²=（）²
∴x=2；
（2）當(dāng)PH=GH=x時(shí)，
同理得x=4；
（3）當(dāng)GH=PG時(shí)，G點(diǎn)在線段PH的中垂線上，G點(diǎn)不是三角形的重心了．
所以PH的長(zhǎng)為4或2．
故答案為：4或2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形重心的概念，中位線定理，相似比，勾股定理等知識(shí)，還涉及了分類討論的思想，具有較強(qiáng)的綜合性．