Question

【題目】如圖1，，，.繞著邊的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，，分別交線(xiàn)段于點(diǎn).

（1）觀(guān)察：①如圖2、圖3，當(dāng)或時(shí)，________（填“”，“”或“”）

②如圖4，當(dāng)時(shí)，________（填“”或“”）

（2）猜想：如圖1，當(dāng)時(shí)，________，證明你所得到的結(jié)論.

（3）如果，請(qǐng)求出的度數(shù)和的值.

Answer 1

【答案】（1）①= ②＞ （2）>，見(jiàn)解析 （3）15°；

【解析】

（1）①根據(jù)直角三角形斜邊中線(xiàn)的性質(zhì)可得CD=AD=BD=AB，分或時(shí)兩種情況，可得AM=0或CK=0，即可得出；

②由∠BDC=60°可知∠ADC=120°，根據(jù)∠CDF=30°可求出∠ADM=30°，可得AM=DM，CK=KD，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可得答案；

（2）如圖，作點(diǎn)C關(guān)于FD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G，連接GK，GM，GD．根據(jù)直角三角形斜邊中線(xiàn)的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)可證明，利用SAS可證明△ADM≌△GDM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得GM=AM，根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可得答案；

（3）根據(jù)勾股定理的逆定理求得∠GKM=90°，由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得∠CKG=90°，∠FKC=∠CKG=45°，根據(jù)三角形的外角定理，可得∠CDF=15°；在Rt△GKM中，∠MGK=∠DGK+∠MGD=∠A+∠ACD=60°，可得∠GMK=30°，利用余弦的定義可得=cos30°，即可得答案．

（1）①∵在中，是的中點(diǎn)，∠ACB=90°，∠A=30°，

∴，，

∴，

如圖，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)A與點(diǎn)M重合，

∵AD=CD，

∴CK=MK，

∵AM=0，

∴AM+CK=MK，

如圖，當(dāng)∠CDF=0°時(shí)，

∵△ABC≌△EDF，

∴DF=BC，∠EDF=∠B=60°，

∴DF=CD，即點(diǎn)C與點(diǎn)F、K重合，

∵∠ACD=30°，∠EDF=60°，

∴∠CDM=90°，

∴AM=MK，

∵CK=0，

∴

綜上所述：，

故答案為：=

②由①，得，，

∴∠ADC=120°，

∵，，，

∴，

∴，

∴

∴在中（兩邊之和大于第三邊）.

（2）作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，，，則，，

∵是的中點(diǎn)，

∴，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∴，

在△ADM和△GDM中，，

∴，

∴，

∵，

∴

（3）如圖，由（2），得，

∵，

∴，

∴，

∵點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，

∴，，

由（1）可知：，

∵，

∴，

在中，，

∴，

∴GK=MG，

∴MK==GM，

∴，

∴，

綜上可得：的度數(shù)為，的值為．