Question

【題目】已知在△ABC中，AC＝BC，分別過A，B兩點作互相平行的直線AM，BN，過點C的直線分別交直線AM，BN于點D，E．

（1）如圖1，若AM⊥AB，求證：CD＝CE；

（2）如圖2，∠ABC＝∠DEB＝60°，判斷線段AD，DC與BE之間的關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AD+DC＝BE，理由見解析

【解析】

（1）延長AC交BN于點F，證明△ADC≌△FEC（ASA），即可得出結論；
（2）在EB上截取EH=EC，連接CH，證明△DAC≌△HCB（AAS），得出AD=CH，DC=BH，即可得出結論．

（1）證明：如圖1，延長AC交BN于點F，

∵AC＝BC，

∴∠CAB＝∠CBA，

又∵AB⊥AM，

∴∠BAM＝90°，

又∵AM∥BN，

∴∠BAM+∠ABN＝180°，

∴∠ABN＝90°，

∴∠BAF+∠AFB＝90°，∠ABC+∠CBF＝90°，

∴∠CBF＝∠AFB，

∴BC＝CF，

∴AC＝FC，

又∵AM∥BN，∴∠DAF＝∠AFB，

在△ADC和△FEC中，，

∴△ADC≌△FEC（ASA），

∴DC＝EC；

（2）解：AD+DC＝BE；理由如下：

如圖2，在EB上截取EH＝EC，連接CH，

∵AC＝BC，∠ABC＝60°，

∴△ABC為等邊三角形，

∵∠DEB＝60°，

∴△CHE是等邊三角形，

∴∠CHE＝60°，∠HCE＝60°，

∴∠BHC＝120°，

∵AM∥BN，

∴∠ADC+∠BEC＝180°，

∴∠ADC＝120°，

∴∠DAC+∠DCA＝60°，

又∵∠DCA+∠ACB+∠BCH+∠HCE＝180°，

∴∠DCA+∠BCH＝60°，

∴∠DAC＝∠BCH，

在△DAC與△HCB中，，

∴△DAC≌△HCB（AAS），

∴AD＝CH，DC＝BH，

又∵CH＝CE＝HE，

∴BE＝BH+HE＝DC+AD，

即AD+DC＝BE．