Question

如圖1，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=﹣x²+12的圖象與y軸交于點A，與x軸交于B，C兩點（點B在點C的左側(cè)），連接AB，AC．

（1）點B的坐標為　  　，點C的坐標為　 　；

（2）過點C作射線CD∥AB，點M是線段AB上的動點，點P是線段AC上的動點，且始終滿足BM=AP（點M不與點A，點B重合），過點M作MN∥BC分別交AC于點Q，交射線CD于點N （點 Q不與點P重合），連接PM，PN，設(shè)線段AP的長為n．

①如圖2，當(dāng)n＜AC時，求證：△PAM≌△NCP；

②直接用含n的代數(shù)式表示線段PQ的長；

③若PM的長為，當(dāng)二次函數(shù)y=﹣x²+12的圖象經(jīng)過平移同時過點P和點N時，請直接寫出此時的二次函數(shù)表達式．

Answer 1

解：（1）答：（﹣9，0），（9，0）．

B、C為拋物線與x軸的交點，故代入y=0，得y=﹣x²+12=0，

解得 x=﹣9或x=9，

即B（﹣9，0），C（9，0）．

 

（2）①證明：∵AB∥CN，

∴∠MAP=∠PCN，

∵MN∥BC，

∴四邊形MBCN為平行四邊形，

∴BM=CN，

∵AP=BM，

∴AP=CN，

∵BO=OC，OA⊥BC，

∴OA垂直平分BC，

∴AB=AC，

∴AM=AB﹣BM=AC﹣AP=CP．

在△MAP和△PCN中，

，

∴△MAP≌△PCN（AAS）．

②解：1．當(dāng)n＜AC時，如圖1，

，

∵四邊形MBCN為平行四邊形，

∴∠MBC=∠QNC，

∵AB=AC，MN∥BC，

∴∠MBC=∠QCB=∠NQC，

∴∠NQC=∠QNC，

∴CN=CQ，

∵△MAP≌△PCN，

∴AP=CN=CQ，

∵AP=n，AC===15，

∴PQ=AC﹣AP﹣QC=15﹣2n．

2．當(dāng)n=AC時，顯然P、Q重合，PQ=0．

3．當(dāng)n＞AC時，如圖2，

∵四邊形MBCN為平行四邊形，

∴∠MBC=∠QNC，BM=CN

∵AB=AC，MN∥BC，

∴∠MBC=∠QCB=∠NQC，

∴∠NQC=∠QNC，

∴BM=CN=CQ，

∵AP=BM，

∴AP=CQ，

∵AP=n，AC=15，

∴PQ=AP+QC﹣AC=2n﹣15．

綜上所述，當(dāng)n≤AC時，PQ=15﹣2n；當(dāng)n＞AC時，PQ=2n﹣15．

③或．

分析如下：

1．當(dāng)n≤AC時，如圖3，過點P作x軸的垂線，交MN于E，交BC于F．

此時△PEQ∽△PFC∽△AOC，PQ=15﹣2n．

∵PM=PN，

∴ME=EN=MN=BC=9，

∴PE===4，

∵OC：OA：AC=3：4：5，△PEQ∽△PFC∽△AOC，

∴PQ=5，

∴15﹣2n=5，

∴AP=n=5，

∴PC=10，

∴FC=6，PF=8，

∵OF=OC﹣FC=9﹣6=3，EN=9，EF=PF﹣PE=8﹣4=4，

∴P（3，8），N（12，4）．

設(shè)二次函數(shù)y=﹣x²+12平移后的解析式為y=﹣（x+k）²+12+h，

∴，

解得 ，

∴y=﹣（x+6）²+12+8=﹣x²+x+4．

2．當(dāng)n＞AC時，如圖4，過點P作x軸的垂線，交MN于E，交BC于F．

此時△PEQ∽△PFC∽△AOC，PQ=2n﹣15．

∵PM=PN，

∴ME=EN=MN=BC=9，

∴PE===4，

∵OC：OA：AC=3：4：5，△PEQ∽△PFC∽△AOC，

∴PQ=5，

∴2n﹣15=5，

∴AP=n=10，

∴PC=5，

∴FC=3，PF=4，

∵OF=OC﹣FC=9﹣3=6，EN=9，EF=PF+PE=4+4=8，

∴P（6，4），N（15，8）．

設(shè)二次函數(shù)y=﹣x²+12平移后的解析式為y=﹣（x+k）²+12+h，

∴，

解得 ，

∴y=﹣（x﹣12）²+12﹣=﹣x²+x﹣12．