Question

如圖，已知直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)和，是軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．
（1）直接寫(xiě)出直線(xiàn)的解析式；
（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)，的面積為，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；并求出S的最大值；
（3）當(dāng)點(diǎn)Q在線(xiàn)段AB上（Q與A、B不重合）時(shí)，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A且與x軸平行，問(wèn)在上是否存在點(diǎn)C，使得是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，并證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1） ；
（2），當(dāng)時(shí)，S有最大值；
（3）在上存在點(diǎn)，使得是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形．

解析試題分析：（1）已知直線(xiàn)L過(guò)A，B兩點(diǎn)，可將兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線(xiàn)的解析式中，用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)L的解析式；
（2）求三角形OPQ的面積，就需知道底邊OP和高QM的長(zhǎng)，已知了OP為t，關(guān)鍵是求出QM的長(zhǎng)．已知了QM垂直平分OP，那么OM=，，再求即可；
（3）如果存在這樣的點(diǎn)C，那么CQ=QP=OQ，因此C，O就關(guān)于直線(xiàn)BL對(duì)稱(chēng)，因此C的坐標(biāo)應(yīng)該是（1，1）．那么只需證明CQ⊥PQ即可．分情況進(jìn)行討論．
試題解析：（1） ；
（2）∵，∴Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
當(dāng)，即時(shí)，，
∴．
當(dāng)時(shí)，，
∴當(dāng)時(shí)，S有最大值；
（3）∵，∴是等腰直角三角形，
若在上存在點(diǎn)，使得是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則，
∴，∵、軸，∴
O、C關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)∴，得．
連接，則四邊形是正方形．
（i）當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上，如圖–1．

由對(duì)稱(chēng)性，得
，
∴，
∴．
即
（ii）當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上，如圖–2，

∵∴由對(duì)稱(chēng)性可知
∴，
∴．
綜合（i）（ii），．
∴在上存在點(diǎn)，使得是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形．
考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．