Question

（2003•大連）已知：如圖1，給出下列6個論斷，①AB是⊙O₁的直徑；②EC是⊙O₁的切線；③AC是⊙O₂的直徑；④BC•EC=DE•BD；⑤DE∥BC；⑥D(zhuǎn)E•BC=2CE²．
（1）將6個論斷中的3個作為題設(shè)，2個論斷作為結(jié)論，寫出一個真命題，并加以證明；
（2）如果AB不是⊙O₂直徑（如圖2），你能否再從其余5個論斷中選取一個論斷作為題設(shè)，一個論斷作為結(jié)論，使其成為真命題（不要求證明）？若能，請寫出兩個；若不能，請你再添加一個條件，寫出兩個真命題．

Answer 1

【答案】分析：（1）把①AB是⊙O₁的直徑；②EC是⊙O₁的切線；③AC是⊙O₂的直徑作為條件，把⑤DE∥BC，⑥D(zhuǎn)E•BC=2CE²作為結(jié)論；
（2）從條件中選一個，根據(jù)題意進行推理，觀察能得到什么結(jié)論，再根據(jù)余下的條件進行證明．
解答：解：連接AE，
∵AC為⊙O直徑
∴∠AEC=∠ADC=90°
∴△AEC≌△ADC
∴CD=CE，EF=DF=ED；
（1）∵EC為⊙O₁切線
∴∠ECA=∠ABC
∵∠EDA+∠CAD=90°，∠ABC+∠CAD=90°
∴∠EDA=∠ABC
∴ED∥BC
故⑤DE∥BC成立
∵△CFD∽△BDC
∴=
又∵CD=CE，DF=ED
∴DE•BC=2CE²
故⑥D(zhuǎn)E•BC=2CE²，成立；

（2）能，
（Ⅰ）②EC是⊙O₁的切線作條件，⑤DE∥BC作結(jié)論，
證明：
∵EC是⊙O₁的切線
∴∠ECA=∠CBA
∵同弧所對的圓周角相等
∴∠ECA=∠ADE
∴∠CBA=∠ADE
∴DE∥BC；
（Ⅱ）①AB是⊙O₁的直徑作為條件，⑥D(zhuǎn)E•BC=2CE²作為結(jié)論，
∵AC為⊙O₂直徑
∴△CFD∽△BDC
∴=
又∵CD=CE，DF=ED
∴DE•BC=2CE²．
點評：此題是一道條件、過程和結(jié)論都開放的題目，考查了同學們的發(fā)散思維能力，需要從條件中找出符合題意的條件進行組合，并進行嚴格證明．