Question

已知圓P的圓心P在反比例函數(shù)（k＞0）第一象限圖象上，并與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，且始終與y軸相切于定點(diǎn)C（0，1）．
（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的二次函數(shù)圖象的解析式；
（3）若二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為D，問是否存在實(shí)數(shù)k，使四邊形ADBP為菱形？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由；
（4）此拋物線的頂點(diǎn)D是否可能在圓P內(nèi)？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接PC、PA、PB，過P點(diǎn)作PH⊥x軸，垂足為H，P的坐標(biāo)是（k，1），得到PA=PC=k，由PA＞PH即可得到答案；
（2）根據(jù)勾股定理得到AH=，得到A（k-，0），由⊙P交x軸于A、B兩點(diǎn)，且PH⊥AB，由垂徑定理可知，PH垂直平分AB，得到B（k+，0），可設(shè)該拋物線解析式為y=a（x-k）²+h，代入得到方程組求出即可；
^（3）拋物線頂點(diǎn)D坐標(biāo)為（k，1-k²），根據(jù)四邊形ADBP為菱形．則必有PH=DH，得到k²-1=1，求出即可；
（4）根據(jù)PD=1-（1-k²）=k²＞k=PA，判斷即可．
解答：解：（1）連接PC、PA、PB，過P點(diǎn)作PH⊥x軸，垂足為H，
∵P點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，
∴P的坐標(biāo)是（k，1），
∴PA=PC=k，在Rt△PAH中，由PA＞PH，
解得：k＞1，
答：實(shí)數(shù)k的取值范圍是k＞1．

（2）解：在Rt△APH中，AH==，
∴OA=OH-AH=k-，
∴A（k-，0），
∵由⊙P交x軸于A、B兩點(diǎn)，且PH⊥AB，由垂徑定理可知，PH垂直平分AB，
∴OB=OA+2AH=k-+2=k+，
∴B（k+，0），
故過A、B兩點(diǎn)的拋物線的對稱軸為PH所在的直線解析式為x=k，
可設(shè)該拋物線解析式為y=a（x-k）²+h，
又拋物線過C（0，1），B（k+，0），
得：，
解得a=1，h=1-k²，
∴拋物線解析式為y=（x-k）²+1-k²，
答：經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的二次函數(shù)圖象的解析式是y=（x-k）²+1-k²．

（3）解：由（2）知拋物線頂點(diǎn)D坐標(biāo)為（k，1-k²），
∴DH=k²-1，
若四邊形ADBP為菱形．則必有PH=DH，
∵PH=1，
∴k²-1=1，
又∵k＞1，
∴k=
∴當(dāng)k取時(shí)，PD與AB互相垂直平分，則四邊形ADBP為菱形，
答：存在實(shí)數(shù)k，使四邊形ADBP為菱形，k的值是．

（4）答：D點(diǎn)不可能在圓P內(nèi)，
證明：∵PD=1-（1-k²）=k²＞k=PA（圓P的半徑），
所以D點(diǎn)不可能在圓P內(nèi)．
點(diǎn)評：本題主要考查對用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的三種形式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，菱形的性質(zhì)，勾股定理，解二元一次方程組等知識點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．