Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．CD⊥AB于點(diǎn)D．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿線段AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過程中，以點(diǎn)P為頂點(diǎn)作長為2，寬為1的矩形PQMN，其中PQ＝2，PN＝1，點(diǎn)Q在點(diǎn)P的左側(cè)，MN在PQ的下方，且PQ總保持與AC垂直．設(shè)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）（t＞0），矩形PQMN與△ACD的重疊部分圖形面積為S（平方單位）．

（1）求線段CD的長；

（2）當(dāng)矩形PQMN與線段CD有公共點(diǎn)時(shí)，求t的取值范圍；

（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求S與t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】（1）CD＝；（2）≤t≤；（3）當(dāng)0＜t＜時(shí)，S＝；當(dāng)≤t≤時(shí)，S＝2；當(dāng)＜t≤時(shí)，S=-t2+t-．

【解析】

（1）由勾股定理得出AB＝,由△ABC的面積得出ACBC＝ABCD，即可得出CD的長；

（2）分兩種情形：①當(dāng)點(diǎn)N在線段CD上時(shí)，如圖1所示，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．②當(dāng)點(diǎn)Q在線段CD上時(shí)，如圖2所示，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．

（3）首先求出點(diǎn)Q落在AC上的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t，再分三種情形：①當(dāng)0＜t＜時(shí)，重疊部分是矩形PHYN，如圖4所示，②當(dāng)≤t≤時(shí)，重合部分是矩形PQMN，S＝PQPN＝2．③當(dāng)＜t≤時(shí)，如圖5中重疊部分是五邊形PQMJI，分別求解即可．

（1）∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，

∴AB＝，

∵S△ABC＝ACBC＝ABCD，

∴ACBC＝ABCD，即：8×610×CD，

∴CD＝；

（2）在Rt△ADC中，AD＝，BD＝AB－AD＝10－＝，

當(dāng)點(diǎn)N在線段CD上時(shí)，如圖1所示：

∵矩形PQMN，PQ總保持與AC垂直，

∴PN∥AC，

∴∠NPD＝∠CAD，

∵∠PDN＝∠ADC，

∴△PDN∽△ADC，

∴，即：，

解得：PD＝，

∴t＝AD－PD＝，

當(dāng)點(diǎn)Q在線段CD上時(shí)，如圖2所示：

∵PQ總保持與AC垂直，

∴PQ∥BC，△DPQ∽△DBC，

∴，即：，

解得：DP＝ ，

∴t＝AD+DP＝，

∴當(dāng)矩形PQMN與線段CD有公共點(diǎn)時(shí)，t的取值范圍為≤t≤；

（3）當(dāng)Q在AC上時(shí)，如圖3所示：

∵PQ總保持與AC垂直，

∴PQ∥BC，△APQ∽△ABC，

∴，即：，

解得：AP＝ ，

當(dāng)0＜t＜時(shí)，重疊部分是矩形PHYN，如圖4所示：

∵PQ∥BC，

∴△APH∽△ABC，

∴，即：，

∴PH＝，

∴S＝PHPN＝；

當(dāng)≤t≤時(shí)，重合部分是矩形PQMN，S＝PQPN＝2．

當(dāng)＜t≤時(shí)，如圖5中重疊部分是五邊形PQMJI，

S＝S矩形PNMQ-S△JIN＝2- （t-）[1-（-t）]＝-t2+t-．