Question

已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，D是腰AC上的一個動點，過C作CE垂直于BD或BD的延長線，垂足為E，如圖．

（1）若BD是AC的中線，求的值；
（2）若BD是∠ABC的角平分線，求的值；
（3）結合（1）、（2），試推斷的取值范圍（直接寫出結論，不必證明），并探究的值能小于嗎？若能，求出滿足條件的D點的位置；若不能，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：先設AB=AC=2a，CD=a，則BC=a，AD=a．求出BD，又求得Rt△ABD∽Rt△ECD，
（1）BD是AC的中線，則CD=AD=x=，則解得；
（2）BD是∠ABC的角平分線，則求得x，y值；
（3）由以上兩個問題，從的比值求得x的值，則求得的值．
解答：解：（1）設CD=AD=a，則AB=AC=2a，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD=a，
∵∠A=∠E=90°，∠ADB=∠EDC，
∴△BAD∽△CED，
∴=，
∴=，
解得：CE=，
∴==；

（2）過點D作DF⊥BC于F，
∵BD是∠ABC的平分線，
∴AD=DF，
∵在Rt△ABC中，cos∠ABC==，
在Rt△CDF中，sin∠DCF==，
即=，
∴=，
即=，
∴CD=2（2-）a，
∴AD=AC-CD=2a-2（2-）a=2（-1）a，
∴BD²=AD²+AB²=8（2-）a²，
∵Rt△ABD∽Rt△CED，
∴CE==a²．
∴===2．

（3）當D在A點時，=1，
當D越來越接近C時，越來越接近無窮大，
∴的取值范圍是≥1．
設AB=AC=1，CD=x，AD=1-x，
在Rt△ABD中，BD²=1²+（1-x）²，
又∵Rt△ABD∽Rt△ECD，
∴=，即=，
解得：CE=，
若，則有3x²-10x+6=0，
∵0＜x≤1，
∴解得
∴，
表明隨著點D從A向C移動時，BD逐漸增大，而CE逐漸減小，的值則隨著D從A向C移動而逐漸增大，
∴探究的值能小于，此時AD=．
點評：本題考查了相似三角形的判定和性質，本題從中線，角平分線以及中線與角平線相結合的問題來考查，是一道考查全面的好題．