如圖,在平面直角坐標系中,直線l:y=-2x+b(b≥0)的位置隨b的不同取值而變化.
(1)已知⊙M的圓心坐標為(4,2),半徑為2.
當b=______時,直線l:y=-2x+b(b≥0)經(jīng)過圓心M;
當b=______
【答案】分析:(1)①當直線經(jīng)過圓心M(4,2)時,將圓心坐標代入直線解析式,即可求得b的值;
②當若直線與⊙M相切,如答圖1所示,應有兩條符合條件的切線,不要遺漏.
欲求此時b的值,可以先求出切點P的坐標,代入解析式即可;欲求切點P的坐標,可以構(gòu)造相似三角形△PMN∽△BAO,求得PN=2MN,然后在Rt△PMN中利用勾股定理求出MN和PN,最后求出P點坐標;
(2)本問關鍵是弄清直線掃過矩形ABCD的運動過程,可以分為五個階段,分別求出每一階段S的表達式,如答圖2-4所示.
解答:解:(1)①直線l:y=-2x+b(b≥0)經(jīng)過圓心M(4,2)時,則有:2=-2×4+b,∴b=10;
②若直線l:y=-2x+b(b≥0)與⊙M相切,如答圖1所示,應有兩條符合條件的切線.
設直線與x軸、y軸交于A、B點,則A(,0)、B(0,b),∴OB=2OA.
由題意,可知⊙M與x軸相切,設切點為D,連接MD;
設直線與⊙M的一個切點為P,連接MP并延長交x軸于點G;
過P點作PN⊥MD于點N,PH⊥x軸于點H.
易證△PMN∽△BAO,
∴PN:MN=OB:OA=2:1,
∴PN=2MN.
在Rt△PMN中,由勾股定理得:PM2=PN2+MN2,解得:MN=,PN=,
∴PH=ND=MD-MN=2-,OH=OD-HD=OD-PN=4-,
∴P(4-,2-),代入直線解析式求得:b=10-2
同理,當切線位于另外一側(cè)時,可求得:b=10+2

(2)由題意,可知矩形ABCD頂點D的坐標為(2,2).
由一次函數(shù)的性質(zhì)可知,當b由小到大變化時,直線l:y=-2x+b(b≥0)向右平移,依次掃過矩形ABCD的不同部分.
可得當直線經(jīng)過A(2,0)時,b=4;當直線經(jīng)過D(2,2)時,b=6;當直線經(jīng)過B(6,0)時,b=12;當直線經(jīng)過C(6,2)時,b=14.
①當0≤b≤4時,S=0;
②當4<b≤6時,如答圖2所示.
設直線l:y=-2x+b與x軸交于點P,與AD交于點Q.
令y=0,可得x=,∴AP=-2;
令x=2,可得y=b-4,∴AQ=b-4.
∴S=S△APQ=AP•AQ=-2)(b-4)=b2-2b+4;
③當6<b≤12時,如答圖3所示.
設直線l:y=-2x+b與x軸交于點P,與CD交于點Q.
令y=0,可得x=,∴AP=-2;
令y=2,可得x=-1,∴DQ=-3.
S=S梯形APQD=(DQ+AP)•AD=b-5;
④當12<b≤14時,如答圖4所示.
設直線l:y=-2x+b與BC交于點P,與CD交于點Q.
令x=6,可得y=b-12,∴BP=b-12,CP=14-b;
令y=2,可得x=-1,∴DQ=-3,CQ=7-
S=S矩形ABCD-S△PQC=8-CP•CQ=b2+7b-41;
⑤當b>14時,S=S矩形ABCD=8.
綜上所述,當b由小到大變化時,S與b的函數(shù)關系式為:

點評:本題是動線型壓軸題,綜合考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、圓的切線性質(zhì)、相似三角形、矩形、梯形、勾股定理以及圖形面積等重要知識點,涉及的考點較多,難度較大,對同學們的解題能力提出了很高的要求.本題的難點在于:(I)第(1)②問中,圓的切線有兩條,容易遺漏.求切點坐標時候,注意運用相似關系化簡運算;(II)第(2)問中,動直線的運動過程分析是難點,注意劃分為五個階段,分別求出每個階段S的表達式.
練習冊系列答案
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BD
AB
=
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,求這時點P的坐標.

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k
x
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k
x
的解析式為( �。�

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(3)當△OCP是等腰三角形時,請寫出點P的坐標(不要求過程,只需寫出結(jié)果).

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