Question

【題目】如圖，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過、兩點(diǎn)．

求拋物線的解析式；

如圖，點(diǎn)是直線上方拋物線上的一動點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)和面積的最大值？

在的結(jié)論下，過點(diǎn)作軸的平行線交直線于點(diǎn)，連接，點(diǎn)是拋物線對稱軸上的動點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)，使得以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)的坐標(biāo)是時(shí)，的面積最大，最大面積是；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)是、、．

【解析】

（1）首先根據(jù)直線y=﹣x+3與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)B，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，3），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（4，0）；然后根據(jù)拋物線y=ax2+x+c經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，求出a\c的值是多少，即可求出拋物線的解析式．

（2）首先過點(diǎn)E作y軸的平行線EF交直線BC于點(diǎn)M，EF交x軸于點(diǎn)F，然后設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)是（x，﹣x2+x+3），則點(diǎn)M的坐標(biāo)是（x，﹣x+3），求出EM的值是多少；最后根據(jù)三角形的面積的求法，求出S△ABC，進(jìn)而判斷出當(dāng)△BEC面積最大時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)和△BEC面積的最大值各是多少即可．

（3）在拋物線上存在點(diǎn)P，使得以P、Q、A、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．然后分三種情況討論，根據(jù)平行四邊形的特征，求出使得以P、Q、A、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的點(diǎn)P的坐標(biāo)是多少即可．

（1）∵直線y=﹣x+3與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)B，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，3），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（4，0）．

∵拋物線y=ax2+x+c經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，∴，解得：，∴y=﹣x2+x+3．

（2）如圖1，過點(diǎn)E作y軸的平行線EF交直線BC于點(diǎn)M，EF交x軸于點(diǎn)F．

∵點(diǎn)E是直線BC上方拋物線上的一動點(diǎn)，∴設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)是（x，﹣x2+x+3），則點(diǎn)M的坐標(biāo)是（x，﹣x+3），∴EM=﹣x2+x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+x，∴S△BEC=S△BEM+S△MEC

==×（﹣x2+x）×4=﹣x2+3x=﹣（x﹣2）2+3

∴當(dāng)x=2時(shí)，即點(diǎn)E的坐標(biāo)是（2，3）時(shí)，△BEC的面積最大，最大面積是3．

（3）在拋物線上存在點(diǎn)P，使得以P、Q、A、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

①如圖2，由（2），可得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是2．

∵點(diǎn)M在直線y=﹣x+3上，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是（2，）．

又∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣2，0），∴AM==，∴AM所在的直線的斜率是：；

∵y=﹣x2+x+3的對稱軸是x=1，∴設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（1，m），點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x，﹣x2+x+3），則

解得：或．

∵x＜0，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（﹣3，﹣）．

②如圖3，由（2），可得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是2．

∵點(diǎn)M在直線y=﹣x+3上，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是（2，）．

又∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣2，0），∴AM==，∴AM所在的直線的斜率是：；

∵y=﹣x2+x+3的對稱軸是x=1，∴設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（1，m），點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x，﹣x2+x+3），則

解得：或．

∵x＞0，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（5，﹣）．

③如圖4，由（2），可得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是2．

∵點(diǎn)M在直線y=﹣x+3上，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是（2，）．

又∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣2，0），∴AM==．

∵y=﹣x2+x+3的對稱軸是x=1，∴設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（1，m），點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x，﹣x2+x+3），則，解得：，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（﹣1，）．

綜上，可得在拋物線上存在點(diǎn)P，使得以P、Q、A、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（﹣3，﹣）、（5，﹣）、（﹣1，）．