Question

如圖，在平面直角坐標系中，點O是原點，點A的坐標為（4，0），以OA為一邊，在第一象限作等邊△OAB
（1）求點B的坐標；
（2）求經過O、A、B三點的拋物線的解析式；
（3）直線y=x與（2）中的拋物線在第一象限相交于點C，求點C的坐標；
（4）在（3）中，直線OC上方的拋物線上，是否存在一點D，使得△OCD的面積最大？如果存在，求出點D的坐標和面積的最大值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用點A的坐標為（4，0），△OAB是等邊三角形，作高后利用勾股定理可以求出；
（2）題利用頂點式可以求出解析式；
（3）由直線y=與拋物線相交，用x表示出點C的坐標，即可求出；
（4）假設存在這樣一個點，用x表示出點D的坐標，即可求出．
解答：解：（1）過點B作BE⊥x軸于點E，
∵△OAB是等邊三角形，
∴OE=2，BE=2，
∴點B的坐標為（2，2）；

（2）根據拋物線的對稱性可知，點B（2，2）是拋物線的頂點，
設拋物線的解析式為y=a（x-2）²+2，
當x=0時，y=0，
∴0=a（0-2）²+2，
∴a=-，
∴拋物線的解析式為y=-（x-2）²+2，
即：y=-x²+2x；

（3）設點C的橫坐標為x，則縱坐標為x，
即點C的坐標為（x，x）代入拋物線的解析式得：x=-x²+2x，
解得：x=0或x=3，
∵點C在第一象限，
∴x=3，
∴點C的坐標為（3，）；

（4）存在．
設點D的坐標為（x，-x²+2x），△OCD的面積為S，
過點D作DF⊥x軸于點F，交OC于點G，則點G的坐標為（x，x），
作CM⊥DF于點M，
則OF+CM=3，DG=-x²+2x-x=-x²+x，
∴S=S_△OCD=S_△DGO+S_△DGC=DG•OF+DG•CM=DG•（OF+CM）=DG×3
=（-x²+x）×3，
∴S=-x²+x=-（x-）²+，
∴△OCD的最大面積為，此時點D的坐標為（，）．
點評：此題主要考查了二次函數解析式的求法，以及一次函數與二次函數綜合應用，還有二次函數最值問題，綜合性比較強，題目很典型．