Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知矩形OACB的邊OA，OB分別在x軸上和y軸上，線段OA=24，OB=12；點(diǎn)P從點(diǎn)O開始沿OA邊勻速移動(dòng)，點(diǎn)M從點(diǎn)B開始沿BO邊勻速移動(dòng)．如果點(diǎn)P，點(diǎn)M同時(shí)出發(fā)，它們移動(dòng)的速度相同都是1個(gè)單位/秒，設(shè)經(jīng)過x秒時(shí)（0≤x≤12），△POM的面積為y．
（1）求直線AB的解析式；
（2）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）連接矩形的對(duì)角線AB，當(dāng)x為何值時(shí)，以M、O、P為頂點(diǎn)的三角形等于△AOB面積的

1

8

；
（4）當(dāng)△POM的面積最大時(shí)，將△POM沿PM所在直線翻折后得到△PDM，試判斷D點(diǎn)是否在直線AB上，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，用待定系數(shù)法即可求解；
（2）根據(jù)S_△OMP=

1

2

OM?OP，即可求解；
（3）根據(jù)面積之間關(guān)系列出等式即可求解；
（4）當(dāng)△POM的面積最大時(shí)，將△POM沿PM據(jù)直線翻折后得到△PDM，先求出D點(diǎn)坐標(biāo)，看是否在直線y=-

1

2

x+12
上即可判斷；

解答：解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
A點(diǎn)坐標(biāo)為（24，0），B為（0，12），
把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入上式，得：

24k+b=0 b=12

，
解得

k=- 1 2 b=12

，
∴y=-

1

2

x+12；

（2）∵S_△OMP=

1

2

OM?OP，
∴y=

1

2

(12-x)•x
即y=-

1

2

x2+6x；

（3）∵S_△AOB=

1

2

×OA?OB=144，
∴

1

8

S_△AOB=18，即y=18，
當(dāng)-

1

2

x2+6x=18時(shí)，
解得：x=6；

（4）當(dāng)△POM的面積最大時(shí)，將△POM沿PM據(jù)直線翻折后得到△PDM，
當(dāng)x=-

6

2×(- 1 2 )

=6時(shí)，S_△POM=y有最大值．
此時(shí)OP=6，OM=12-x=6
∴△OMP是等腰直角三角形．
∵將△POM沿PM所在直線翻折后得到△POM．
∴四邊形OPDM是正方形
∴D（6，6），
把D（6，6）代入y=-

1

2

x+12
x=6時(shí)，y=-

1

2

×6+12=9≠6
∴點(diǎn)D不在直線AB上．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的最值及矩形的性質(zhì)，難度較大，關(guān)鍵是正確理解與把握題中給出的已知信息．