Question

如圖：已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，兩邊PE、PF分別交AB、AC于E、F，給出一下五個(gè)結(jié)論：①PF=PE；②EF=AP；③2EP²=EF²；④∠AEP+∠AFP=180°；⑤S_{四邊形AEPF}=S_△ABC．當(dāng)∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)（點(diǎn)E不與A、B重合），上述結(jié)論中始終正確的有

1. A.
   2個(gè)
2. B.
   3個(gè)
3. C.
   4個(gè)
4. D.
   5個(gè)

Answer 1

C
分析：（1）通過證明△AEP≌△CFP就可以得出PE=PF，
（2）由條件知AP=BC，當(dāng)EF是△ABC的中位線時(shí)才有EF=AP，其他情況EF≠AP．
（3）由∠EPA+∠FPA=90°，由勾股定理就可以得出結(jié)論；
（4）由△AEP≌△CFP就可以得出∠AEP=∠CFP，由鄰補(bǔ)角的性質(zhì)就可得出結(jié)論；
（5）由S_{四邊形AEPF}=S_△APE+S_△APF．就可以得出S_{四邊形AEPF}=S_△CPF+S_△APF，就可以得出結(jié)論，
解答：∵∠EPA+∠FPA=∠EPF=90°，∠CPF+∠FPA=90°，
∴∠APE=∠CPF．
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°．
∵P是BC的中點(diǎn)，
∴BP=CP=AP=BC．∠APC=90°，∠BAP=∠CAP=45°．
∴．∠BAP=∠C．
在△AEP和△CFP中
，
∴△AEP≌△CFP（ASA），
∴PE=PF，∠AEP=∠CFP．S_△AEP=S_△CFP．故①正確
∵∠CFP++∠AFP=180°，
∴∠AEP+∠AFP=180°．故④正確；
∵EPF=90°，在Rt△EPF中，由勾股定理，得
EF²=PE²+PF²，
∴2EP²=EF²．故③正確
∵S_{四邊形AEPF}=S_△APE+S_△APF．
∴S_{四邊形AEPF}=S_△CPF+S_△APF=S△FAE=S_△ABC．故⑤正確．
∵△ABC是等腰直角三角形，P是BC的中點(diǎn)，
∴AP=BC，
∵EF不是△ABC的中位線，
∴EF≠AP，故②錯(cuò)誤；
∴正確的共有4個(gè)．
故選C．
點(diǎn)評：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，中位線的性質(zhì)的運(yùn)用，等腰直角三角形的判定定理的運(yùn)用，三角形面積公式的運(yùn)用，解答時(shí)靈活運(yùn)用等腰直角三角形的性質(zhì)求解是關(guān)鍵．