(1)證明:令y=0,有x
2+kx+k-1=0,
解得x
1=-1,x
2=1-k,
∴拋物線與x軸相交于一定點為(-1,0),
(2)解:∵x
A<x
B<0,
∴1-k<0,即k>1,
①若-1<1-k,則k<2,
∴1<k<2,這時x
A=-1,x
B=1-k,
∴AB=x
B-x
A=1-k-(-1)=2-k,且OC=k-1,
∴S
△ABC=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/569513.png)
,
整理,得k
2-3k+14=0,
∵b
2-4ac=(-3)
2-4×14<0,
∴此方程無實數(shù)解,即-1<1-k不成立;
②若1-k<-1,則k>2,
∴這時x
A=1-k,x
B=-1,
∴AB=x
B-x
A=-1-(1-k)=k-2,且OC=k-1,
∴S
△ABC=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/569514.png)
,
整理,得(k-5)(k+2)=0,
∴k
1=5,k
2=-2(不合,舍去),
∴所求二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x
2+5x+4.
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201405/53742e0ee3217.png)
(3)解:如圖,存在一點D,使得以A、C、D為頂點的三角形與△ABC相似,
由(2)知,A(-4,0),B(-1,0),C(0,4),
∴AB=3,OC=4,AC=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/2662.png)
,
由于∠CAO=∠OCA=45°,
所以只有△CAD∽△ABC,
于是有
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/303030.png)
,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/569515.png)
,
OD=CD-OC=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/569516.png)
,
∴D點坐標(biāo)為(0,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/158370.png)
),
∴R=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/569517.png)
.
分析:(1)因為拋物線與x軸相交于一定點,令x
2+kx+k-1=0,解方程兩根有一常數(shù),問題得證;
(2)由x
A<x
B<0,得1-k<0,分兩種情況:
①若-1<1-k,則k<2,求得1<k<2,表示出AB、OC,代入S
△ABC=6解答求k;
②若1-k<-1,則k>2,表示出AB、OC,代入S
△ABC=6解答求k;
(3)由y=x
2+5x+4求出A、B、C三點的坐標(biāo),進(jìn)一步求得AB、AC,由△CAD∽△ABC,求出CD,得出OD,求出點D的坐標(biāo),由△ACD的三邊求出外接圓半徑R.
點評:本題考查了二次函數(shù)解析式的確定、圖形面積的求法、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識,滲透分類討論及數(shù)形結(jié)合的思想.